Exercicis de distribucions habituals

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 3) = \binom{12}{3}\,\frac{3}{10}^{3}\,\frac{7}{10}^{9}$

El combinatori $220$ compta de quantes maneres es poden repartir els $3$ èxits entre els $12$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.2397$

De referència, l'esperança és $np = \frac{18}{5}$: si $3$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{72 - 42}{15} = 2$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $2$ és aproximadament $0.0228$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 1) = \binom{12}{1}\,\frac{1}{5}^{1}\,\frac{4}{5}^{11}$

El combinatori $12$ compta de quantes maneres es poden repartir els $1$ èxits entre els $12$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.2062$

De referència, l'esperança és $np = \frac{12}{5}$: si $1$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{101 - 100}{1} = 1$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $1$ és aproximadament $0.1587$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 2) = \binom{12}{2}\,\frac{1}{5}^{2}\,\frac{4}{5}^{10}$

El combinatori $66$ compta de quantes maneres es poden repartir els $2$ èxits entre els $12$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.2835$

De referència, l'esperança és $np = \frac{12}{5}$: si $2$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{\frac{203}{2} - 100}{1} = \frac{3}{2}$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $\frac{3}{2}$ és aproximadament $0.0668$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 3) = \binom{12}{3}\,\frac{1}{5}^{3}\,\frac{4}{5}^{9}$

El combinatori $220$ compta de quantes maneres es poden repartir els $3$ èxits entre els $12$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 0.2362$

De referència, l'esperança és $np = \frac{12}{5}$: si $3$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{102 - 100}{1} = 2$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $2$ és aproximadament $0.0228$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.

Pas 1 — comprovar que és binomial. Nombre fix d'assaigs, independents i amb la mateixa probabilitat: sí.

Pas 2 — la fórmula.

$\mathbb{P}(X = 1) = \binom{20}{1}\,\frac{1}{2}^{1}\,\frac{1}{2}^{19}$

El combinatori $20$ compta de quantes maneres es poden repartir els $1$ èxits entre els $20$ assaigs; les potències donen la probabilitat de cadascuna d'aquestes maneres concretes.

Pas 3 — calcular.

$\approx 1.9073 \cdot 10^{-5}$

De referència, l'esperança és $np = 10$: si $1$ n'està lluny, la probabilitat ha de ser petita, i això és una bona comprovació ràpida.

Pas 1 — estandarditzar.

$Z = \frac{102 - 100}{2} = 1$

Pas 2 — llegir la cua. La probabilitat que una normal estàndard superi $1$ és aproximadament $0.1587$.

L'error que es paga car. Es divideix per la desviació típica, no per la variància. Si un enunciat et dona la «variància», has d'arrelar-la abans. Aquesta confusió canvia el resultat per un factor enorme.

Referències útils de memòria: una desviació deixa fora un $15{,}9\%$ per cada banda, dues en deixen un $2{,}3\%$ i tres un $0{,}13\%$.