Exercicis d'anàlisi de Fourier, fasors i resposta en freqüència

Pas 1 — la fórmula.

$X_{2} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot2/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot2$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (1, 2, 3, 4)$:

$X_{2} = -2.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 2$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(2i + 2)\widetilde{X} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{1}{2 + 2i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \approx 0.3536$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-2t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — el residu. El mostreig no distingeix freqüències que difereixen en un múltiple de la freqüència de mostreig:

$30 \bmod 1000 = 30$

Pas 2 — plegar. La freqüència de Nyquist és $1000/2 = 500$ Hz. Com que $30$ ja hi cap per sota, la freqüència aparent és directament $30$ Hz.

Conclusió: $30$ Hz.

Per què importa. Si el senyal original tenia components per sobre de Nyquist, aquestes apareixen disfressades de freqüències baixes i cap processament posterior no les pot separar de les vertaderes. Per això el filtre antialiàsing va abans del convertidor, no després.

La regla. Els cosinus són funcions parelles i els sinus són senars. Quan integres el producte d'una funció senar per una de parella sobre un interval simètric, el resultat és zero per simetria.

Aquest cas. La funció $f(x) = e^{x} + x$ l'exponencial trenca qualsevol simetria.

Per tant s'anul·len: Cap dels dos.

Fer aquesta comprovació abans de posar-se a integrar és el que separa un exercici de cinc minuts d'un de vint.

Pas 1 — la fórmula.

$X_{0} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot0/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot0$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (0, 1, 0, -1)$:

$X_{0} = 0.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 2$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(2i + 2)\widetilde{X} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{3}{2 + 2i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{3}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{8}} \approx 1.0607$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-2t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — el residu. El mostreig no distingeix freqüències que difereixen en un múltiple de la freqüència de mostreig:

$70 \bmod 1000 = 70$

Pas 2 — plegar. La freqüència de Nyquist és $1000/2 = 500$ Hz. Com que $70$ ja hi cap per sota, la freqüència aparent és directament $70$ Hz.

Conclusió: $70$ Hz.

Per què importa. Si el senyal original tenia components per sobre de Nyquist, aquestes apareixen disfressades de freqüències baixes i cap processament posterior no les pot separar de les vertaderes. Per això el filtre antialiàsing va abans del convertidor, no després.

Pas 1 — la fórmula.

$X_{0} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot0/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot0$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (3, 1, 3, 1)$:

$X_{0} = 8.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 2$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(2i + 2)\widetilde{X} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{5}{2 + 2i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{5}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{8}} \approx 1.7678$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-2t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — el residu. El mostreig no distingeix freqüències que difereixen en un múltiple de la freqüència de mostreig:

$120 \bmod 1000 = 120$

Pas 2 — plegar. La freqüència de Nyquist és $1000/2 = 500$ Hz. Com que $120$ ja hi cap per sota, la freqüència aparent és directament $120$ Hz.

Conclusió: $120$ Hz.

Per què importa. Si el senyal original tenia components per sobre de Nyquist, aquestes apareixen disfressades de freqüències baixes i cap processament posterior no les pot separar de les vertaderes. Per això el filtre antialiàsing va abans del convertidor, no després.