Exercicis d'anàlisi de Fourier, fasors i resposta en freqüència

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 1$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(i + 3)\widetilde{X} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{1}{3 + i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{1}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.3162$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — la fórmula.

$X_{2} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot2/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot2$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (4, 0, 4, 0)$:

$X_{2} = 8.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 1$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(i + 3)\widetilde{X} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{3}{3 + i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{3}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0.9487$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 1$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(i + 3)\widetilde{X} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{5}{3 + i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{5}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{10}} \approx 1.5811$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 2$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(2i + 3)\widetilde{X} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{1}{3 + 2i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{1}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0.2774$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 2$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(2i + 3)\widetilde{X} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{3}{3 + 2i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{3}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0.8321$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 2$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(2i + 3)\widetilde{X} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{5}{3 + 2i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{5}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{13}} \approx 1.3868$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 3$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(3i + 3)\widetilde{X} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{1}{3 + 3i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{1}{\sqrt{3^{2} + 3^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{18}} \approx 0.2357$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 3$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(3i + 3)\widetilde{X} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{3}{3 + 3i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{3}{\sqrt{3^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{18}} \approx 0.7071$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 3$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(3i + 3)\widetilde{X} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{5}{3 + 3i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{5}{\sqrt{3^{2} + 3^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{18}} \approx 1.1785$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-3t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.