Exercicis d'anàlisi de Fourier, fasors i resposta en freqüència

La regla. Els cosinus són funcions parelles i els sinus són senars. Quan integres el producte d'una funció senar per una de parella sobre un interval simètric, el resultat és zero per simetria.

Aquest cas. La funció $f(x) = x^{5} - x$ les dues potències són senars.

Per tant s'anul·len: Tots els $a_n$ (els de cosinus).

Fer aquesta comprovació abans de posar-se a integrar és el que separa un exercici de cinc minuts d'un de vint.

Pas 1 — la fórmula.

$X_{3} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot3/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot3$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (2, 0, 0, 0)$:

$X_{3} = 2.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 1$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(i + 2)\widetilde{X} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{3}{2 + i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{3}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.3416$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-2t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — el residu. El mostreig no distingeix freqüències que difereixen en un múltiple de la freqüència de mostreig:

$250 \bmod 200 = 50$

Pas 2 — plegar. La freqüència de Nyquist és $200/2 = 100$ Hz. Com que $50$ ja hi cap per sota, la freqüència aparent és directament $50$ Hz.

Conclusió: $50$ Hz.

Per què importa. Si el senyal original tenia components per sobre de Nyquist, aquestes apareixen disfressades de freqüències baixes i cap processament posterior no les pot separar de les vertaderes. Per això el filtre antialiàsing va abans del convertidor, no després.

Pas 1 — mirar la paritat primer. $f(x) = x$ és senar, i per tant tots els $a_n$ són zero sense calcular res. Això estalvia la meitat de la feina i s'ha de fer sempre abans d'integrar.

Pas 2 — el coeficient de sinus. Com que l'integrand és parell, es pot integrar només la meitat de l'interval i multiplicar per dos:

$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$

(integració per parts amb $u = x$ i $dv = \sin(nx)dx$).

Pas 3 — substituir $n = 12$.

$b_{12} = \frac{2\cdot(-1)}{12} = -0.1667$

Els coeficients decauen com $1/n$, que és lent: és la signatura d'una funció amb un salt a l'extensió periòdica.

La regla. Els cosinus són funcions parelles i els sinus són senars. Quan integres el producte d'una funció senar per una de parella sobre un interval simètric, el resultat és zero per simetria.

Aquest cas. La funció $f(x) = \cos(3x) + x^{4}$ tots dos sumands són parells.

Per tant s'anul·len: Tots els $b_n$ (els de sinus).

Fer aquesta comprovació abans de posar-se a integrar és el que separa un exercici de cinc minuts d'un de vint.

Pas 1 — la fórmula.

$X_{0} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot0/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot0$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (1, 2, 3, 4)$:

$X_{0} = 10.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 1$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(i + 2)\widetilde{X} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{5}{2 + i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{5}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{5}} \approx 2.2361$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-2t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — el residu. El mostreig no distingeix freqüències que difereixen en un múltiple de la freqüència de mostreig:

$900 \bmod 200 = 100$

Pas 2 — plegar. La freqüència de Nyquist és $200/2 = 100$ Hz. Com que $100$ ja hi cap per sota, la freqüència aparent és directament $100$ Hz.

Conclusió: $100$ Hz.

Per què importa. Si el senyal original tenia components per sobre de Nyquist, aquestes apareixen disfressades de freqüències baixes i cap processament posterior no les pot separar de les vertaderes. Per això el filtre antialiàsing va abans del convertidor, no després.

La regla. Els cosinus són funcions parelles i els sinus són senars. Quan integres el producte d'una funció senar per una de parella sobre un interval simètric, el resultat és zero per simetria.

Aquest cas. La funció $f(x) = x^{3} + \sin x$ suma de dues funcions senars.

Per tant s'anul·len: Tots els $a_n$ (els de cosinus).

Fer aquesta comprovació abans de posar-se a integrar és el que separa un exercici de cinc minuts d'un de vint.