Exercicis d'anàlisi de Fourier, fasors i resposta en freqüència

La regla. Els cosinus són funcions parelles i els sinus són senars. Quan integres el producte d'una funció senar per una de parella sobre un interval simètric, el resultat és zero per simetria.

Aquest cas. La funció $f(x) = x\sin x$ senar per senar dona parell.

Per tant s'anul·len: Tots els $b_n$ (els de sinus).

Fer aquesta comprovació abans de posar-se a integrar és el que separa un exercici de cinc minuts d'un de vint.

Pas 1 — els quadrats. Com que $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$, en elevar al quadrat el signe desapareix:

$b_n^{2} = \frac{4}{n^{2}}$

Pas 2 — sumar.

$\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{8}\frac{4}{n^{2}} = 2\sum_{n=1}^{8}\frac{1}{n^{2}} \approx 3.0548$

Què vol dir aquest número. Parseval diu que l'energia total del senyal és la suma de les energies dels harmònics. L'energia total val $\pi^{2}/3 \approx 3{,}2899$, o sigui que aquesta suma parcial et diu quina fracció d'energia captures amb només $8$ harmònics.

Passant al límit s'obté la identitat famosa $\sum 1/n^{2} = \pi^{2}/6$.

Pas 1 — la fórmula.

$X_{0} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot0/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot0$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (1, -1, 1, -1)$:

$X_{0} = 0.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.

Pas 1 — passar a fasors. Amb $\omega = 3$, l'equació es converteix en una equació algebraica amb nombres complexos:

$(3i + 1)\widetilde{X} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde{X} = \frac{3}{1 + 3i}$

Pas 2 — el mòdul. El mòdul d'un quocient és el quocient dels mòduls:

$|\widetilde{X}| = \frac{3}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0.9487$

Interpretació. Com més gran és la freqüència, més petita és l'amplitud: aquest sistema és un filtre de pas baix. L'argument del fasor (negatiu) dona el desfasament, o sigui quant va endarrerida la resposta respecte de l'excitació.

La solució completa hi afegeix un transitori $Ce^{-t}$ que desapareix: per això el càlcul en freqüència no el veu.

Pas 1 — la condició. La impedància del circuit és $Z = R + i(\omega L - 1/(\omega C))$. La part imaginària s'anul·la quan

$\omega L = \frac{1}{\omega C}$

Pas 2 — aïllar. Multiplicant per $\omega$ i dividint per $L$:

$\omega^{2} = \frac{1}{LC} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} \approx 1.4142$

Què passa aquí. A aquesta freqüència la impedància es redueix a la resistència sola, que és el seu valor mínim: el corrent és màxim i està en fase amb la tensió. És la ressonància, i és el mateix fenomen que el terme que creix amb $t$ a l'oscil·lador mecànic sense amortiment.

Pas 1 — el residu. El mostreig no distingeix freqüències que difereixen en un múltiple de la freqüència de mostreig:

$70 \bmod 200 = 70$

Pas 2 — plegar. La freqüència de Nyquist és $200/2 = 100$ Hz. Com que $70$ ja hi cap per sota, la freqüència aparent és directament $70$ Hz.

Conclusió: $70$ Hz.

Per què importa. Si el senyal original tenia components per sobre de Nyquist, aquestes apareixen disfressades de freqüències baixes i cap processament posterior no les pot separar de les vertaderes. Per això el filtre antialiàsing va abans del convertidor, no després.

Pas 1 — mirar la paritat primer. $f(x) = x$ és senar, i per tant tots els $a_n$ són zero sense calcular res. Això estalvia la meitat de la feina i s'ha de fer sempre abans d'integrar.

Pas 2 — el coeficient de sinus. Com que l'integrand és parell, es pot integrar només la meitat de l'interval i multiplicar per dos:

$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$

(integració per parts amb $u = x$ i $dv = \sin(nx)dx$).

Pas 3 — substituir $n = 9$.

$b_{9} = \frac{2\cdot(1)}{9} = 0.2222$

Els coeficients decauen com $1/n$, que és lent: és la signatura d'una funció amb un salt a l'extensió periòdica.

La regla. Els cosinus són funcions parelles i els sinus són senars. Quan integres el producte d'una funció senar per una de parella sobre un interval simètric, el resultat és zero per simetria.

Aquest cas. La funció $f(x) = e^{x}$ l'exponencial no és ni parella ni senar.

Per tant s'anul·len: Cap dels dos.

Fer aquesta comprovació abans de posar-se a integrar és el que separa un exercici de cinc minuts d'un de vint.

Pas 1 — els quadrats. Com que $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$, en elevar al quadrat el signe desapareix:

$b_n^{2} = \frac{4}{n^{2}}$

Pas 2 — sumar.

$\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\frac{4}{n^{2}} = 2\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n^{2}} \approx 3.0795$

Què vol dir aquest número. Parseval diu que l'energia total del senyal és la suma de les energies dels harmònics. L'energia total val $\pi^{2}/3 \approx 3{,}2899$, o sigui que aquesta suma parcial et diu quina fracció d'energia captures amb només $9$ harmònics.

Passant al límit s'obté la identitat famosa $\sum 1/n^{2} = \pi^{2}/6$.

Pas 1 — la fórmula.

$X_{1} = \sum_{j=0}^{3} x_j\,e^{-2\pi i\,j\cdot1/4}$

Pas 2 — les arrels de la unitat. Amb $N = 4$, el factor $e^{-2\pi i m/4}$ només pren quatre valors i depèn de $m = j\cdot1$ mòdul $4$: val $1$, $-i$, $-1$ o $i$.

Pas 3 — sumar terme a terme amb $x = (1, -1, 1, -1)$:

$X_{1} = 0.0000$

Comprovació ràpida: $X_0$ és sempre la suma de totes les mostres, i per a dades reals els coeficients simètrics respecte de la meitat són conjugats. Són dues maneres barates de detectar un error de càlcul.