Exercicis d'equacions en derivades parcials

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + t) = \frac{1}{1 + (x + t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + t = 5 - (-1) \cdot 2 = 7$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 7^{2}} = \frac{1}{50} \approx 0.0200$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — reconèixer el mode. A l'interval $(0,\pi)$ els modes propis són $\sin(nx)$ amb valor propi $\lambda_n = n^{2}$. Aquí $n = 3$, o sigui $\lambda = 9$.

Pas 2 — el factor temporal. Cada mode es multiplica per una exponencial decreixent:

$e^{-\kappa \lambda t} = e^{-4\cdot9\cdot t} = e^{-36t}$

Pas 3 — avaluar.

$e^{-36\cdot \frac{1}{10}} \approx 0.0273$

Com més gran és $n$, més de pressa s'esborra el mode: per això la difusió suavitza qualsevol dada inicial per irregular que sigui.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 1$ i $L = 5$:

$\lambda_{1} = \left(\frac{\pi}{5}\right)^{2} \approx 0.3948$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 0$ (per tant $B = 0$) i $C = -9$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 0^{2} - 1 \cdot (-9) = 9$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $9$, l'equació és Hiperbòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + t) = \frac{1}{1 + (x + t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + t = 1 - (-1) \cdot 1 = 2$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 2^{2}} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — reconèixer el mode. A l'interval $(0,\pi)$ els modes propis són $\sin(nx)$ amb valor propi $\lambda_n = n^{2}$. Aquí $n = 3$, o sigui $\lambda = 9$.

Pas 2 — el factor temporal. Cada mode es multiplica per una exponencial decreixent:

$e^{-\kappa \lambda t} = e^{-4\cdot9\cdot t} = e^{-36t}$

Pas 3 — avaluar.

$e^{-36\cdot \frac{1}{4}} \approx 0.0001$

Com més gran és $n$, més de pressa s'esborra el mode: per això la difusió suavitza qualsevol dada inicial per irregular que sigui.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 2$ i $L = 5$:

$\lambda_{2} = \left(\frac{2\pi}{5}\right)^{2} \approx 1.5791$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 2$, $2B = 6$ (per tant $B = 3$) i $C = 1$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 3^{2} - 2 \cdot 1 = 7$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $7$, l'equació és Hiperbòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + t) = \frac{1}{1 + (x + t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + t = 6 - (-1) \cdot 2 = 8$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 8^{2}} = \frac{1}{65} \approx 0.0154$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 3$ i $L = 5$:

$\lambda_{3} = \left(\frac{3\pi}{5}\right)^{2} \approx 3.5531$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.