Exercicis d'equacions en derivades parcials

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 2$ (per tant $B = 1$) i $C = 4$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 1^{2} - 1 \cdot 4 = -3$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $-3$, l'equació és El·líptica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + t) = \frac{1}{1 + (x + t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + t = 3 - (-1) \cdot 1 = 4$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 4^{2}} = \frac{1}{17} \approx 0.0588$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 4$ i $L = 5$:

$\lambda_{4} = \left(\frac{4\pi}{5}\right)^{2} \approx 6.3165$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + 2t) = \frac{1}{1 + (x + 2t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + 2t = 4 - (-2) \cdot 1 = 6$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 6^{2}} = \frac{1}{37} \approx 0.0270$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 1$ i $L = \pi$:

$\lambda_{1} = \left(\frac{\pi}{\pi}\right)^{2} = 1$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + 2t) = \frac{1}{1 + (x + 2t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + 2t = 5 - (-2) \cdot 2 = 9$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 9^{2}} = \frac{1}{82} \approx 0.0122$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 2$ i $L = \pi$:

$\lambda_{2} = \left(\frac{2\pi}{\pi}\right)^{2} = 4$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + 2t) = \frac{1}{1 + (x + 2t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + 2t = 1 - (-2) \cdot 1 = 3$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 3^{2}} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 3$ i $L = \pi$:

$\lambda_{3} = \left(\frac{3\pi}{\pi}\right)^{2} = 9$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + 2t) = \frac{1}{1 + (x + 2t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + 2t = 6 - (-2) \cdot 2 = 10$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 10^{2}} = \frac{1}{101} \approx 0.0099$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.