Exercicis d'equacions en derivades parcials

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 5$, $2B = 0$ (per tant $B = 0$) i $C = -2$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 0^{2} - 5 \cdot (-2) = 10$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $10$, l'equació és Hiperbòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x - 3t) = \frac{1}{1 + (x - 3t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x - 3t = 1 - 3 \cdot 1 = -2$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + (-2)^{2}} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — reconèixer el mode. A l'interval $(0,\pi)$ els modes propis són $\sin(nx)$ amb valor propi $\lambda_n = n^{2}$. Aquí $n = 1$, o sigui $\lambda = 1$.

Pas 2 — el factor temporal. Cada mode es multiplica per una exponencial decreixent:

$e^{-\kappa \lambda t} = e^{-4\cdot1\cdot t} = e^{-4t}$

Pas 3 — avaluar.

$e^{-4\cdot \frac{1}{10}} \approx 0.6703$

Com més gran és $n$, més de pressa s'esborra el mode: per això la difusió suavitza qualsevol dada inicial per irregular que sigui.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 1$ i $L = 4$:

$\lambda_{1} = \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2} \approx 0.6169$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — la fórmula de d'Alembert. Amb $f \equiv 0$ només sobreviu la integral:

$u(x,t) = \frac{1}{2\cdot3}\int_{x-3t}^{x+3t} g(s)\,ds$

Pas 2 — l'interval d'integració. A $x = 0$ i $t = 1$ va de $-3$ a $3$.

Pas 3 — quant en cau dins de $(-1,1)$. La funció $g$ val $1$ només dins d'aquest interval, o sigui que la integral és la longitud de la intersecció: $2$.

Pas 4 — dividir.

$u = \frac{2}{2\cdot3} = 0.3333$

Quan el temps és prou gran, la intersecció ja no creix més i la solució es queda constant: un cop l'ona ha passat, el desplaçament és permanent.

Pas 1 — identificar els coeficients. La part principal s'escriu $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy}$, o sigui que aquí $A = 1$, $2B = 4$ (per tant $B = 2$) i $C = 4$.

Pas 2 — discriminant.

$B^{2} - AC = 2^{2} - 1 \cdot 4 = 0$

Pas 3 — llegir el signe. Negatiu vol dir el·líptica (tipus Laplace, equilibri), zero vol dir parabòlica (tipus calor, difusió) i positiu vol dir hiperbòlica (tipus ones, propagació).

Com que el discriminant val $0$, l'equació és Parabòlica.

El tipus no és una etiqueta decorativa: et diu quines dades necessita el problema i com es comportarà la solució.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x - 3t) = \frac{1}{1 + (x - 3t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x - 3t = 6 - 3 \cdot 2 = 0$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 0^{2}} = 1$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — reconèixer el mode. A l'interval $(0,\pi)$ els modes propis són $\sin(nx)$ amb valor propi $\lambda_n = n^{2}$. Aquí $n = 1$, o sigui $\lambda = 1$.

Pas 2 — el factor temporal. Cada mode es multiplica per una exponencial decreixent:

$e^{-\kappa \lambda t} = e^{-4\cdot1\cdot t} = e^{-4t}$

Pas 3 — avaluar.

$e^{-4\cdot \frac{1}{4}} \approx 0.3679$

Com més gran és $n$, més de pressa s'esborra el mode: per això la difusió suavitza qualsevol dada inicial per irregular que sigui.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 2$ i $L = 4$:

$\lambda_{2} = \left(\frac{2\pi}{4}\right)^{2} \approx 2.4674$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — la fórmula de d'Alembert. Amb $f \equiv 0$ només sobreviu la integral:

$u(x,t) = \frac{1}{2\cdot3}\int_{x-3t}^{x+3t} g(s)\,ds$

Pas 2 — l'interval d'integració. A $x = 0$ i $t = 2$ va de $-6$ a $6$.

Pas 3 — quant en cau dins de $(-1,1)$. La funció $g$ val $1$ només dins d'aquest interval, o sigui que la integral és la longitud de la intersecció: $2$.

Pas 4 — dividir.

$u = \frac{2}{2\cdot3} = 0.3333$

Quan el temps és prou gran, la intersecció ja no creix més i la solució es queda constant: un cop l'ona ha passat, el desplaçament és permanent.