Exercicis d'equacions en derivades parcials

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 4$ i $L = \pi$:

$\lambda_{4} = \left(\frac{4\pi}{\pi}\right)^{2} = 16$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — la fórmula. L'equació de transport diu que la solució és constant al llarg de les rectes característiques, i per tant el perfil només es desplaça:

$u(x,t) = f(x + 2t) = \frac{1}{1 + (x + 2t)^{2}}$

Pas 2 — l'argument.

$x + 2t = 3 - (-2) \cdot 1 = 5$

Pas 3 — avaluar.

$u = \frac{1}{1 + 5^{2}} = \frac{1}{26} \approx 0.0385$

Fixa't que el perfil no s'ha deformat gens: el transport el mou tal qual, al contrari del que faria l'equació de la calor.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 1$ i $L = 2 \pi$:

$\lambda_{1} = \left(\frac{\pi}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 2$ i $L = 2 \pi$:

$\lambda_{2} = \left(\frac{2\pi}{2 \pi}\right)^{2} = 1$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 3$ i $L = 2 \pi$:

$\lambda_{3} = \left(\frac{3\pi}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{9}{4} \approx 2.2500$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.

Pas 1 — els modes. Les condicions $X(0) = X(L) = 0$ seleccionen $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$: el sinus ja s'anul·la a l'origen i la condició de l'altre extrem obliga l'argument a ser un múltiple enter de $\pi$.

Pas 2 — substituir. Derivant dues vegades surt un factor $-(n\pi/L)^{2}$, o sigui

$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}$

Pas 3 — el cas concret. Amb $n = 4$ i $L = 2 \pi$:

$\lambda_{4} = \left(\frac{4\pi}{2 \pi}\right)^{2} = 4$

Aquests números són els que apareixen a l'exponent de la calor i a la freqüència de les ones.