Exercicis d'existència i unicitat

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 2 + \int_0^{x} -2\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 2$ constant:

$y_1(x) = 2 + \int_0^{x} -2\cdot2\,ds = 2 - 4 x$

Pas 2. Ara hi fiquem $y_1$:

$y_2(x) = 2 + \int_0^{x} -2\,y_1(s)\,ds = 4 x^{2} - 4 x + 2$

Resultat: $y_{2}(x) = 4 x^{2} - 4 x + 2$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $2e^{-2x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 4$, diferència inicial $\frac{1}{10}$ i $t - t_0 = 1$:

$\text{cota} = \frac{1}{10}\,e^{4\cdot1} = \frac{1}{10}e^{4} \approx 5.4598$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 3 + \int_0^{x} -2\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 3$ constant:

$y_1(x) = 3 + \int_0^{x} -2\cdot3\,ds = 3 - 6 x$

Resultat: $y_{1}(x) = 3 - 6 x$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $3e^{-2x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 4$, diferència inicial $\frac{1}{10}$ i $t - t_0 = 2$:

$\text{cota} = \frac{1}{10}\,e^{4\cdot2} = \frac{1}{10}e^{8} \approx 298.0958$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 3 + \int_0^{x} -2\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 3$ constant:

$y_1(x) = 3 + \int_0^{x} -2\cdot3\,ds = 3 - 6 x$

Pas 2. Ara hi fiquem $y_1$:

$y_2(x) = 3 + \int_0^{x} -2\,y_1(s)\,ds = 6 x^{2} - 6 x + 3$

Resultat: $y_{2}(x) = 6 x^{2} - 6 x + 3$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $3e^{-2x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 4$, diferència inicial $\frac{1}{10}$ i $t - t_0 = 3$:

$\text{cota} = \frac{1}{10}\,e^{4\cdot3} = \frac{1}{10}e^{12} \approx 16275.4791$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 1 + \int_0^{x} 4\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 1$ constant:

$y_1(x) = 1 + \int_0^{x} 4\cdot1\,ds = 4 x + 1$

Resultat: $y_{1}(x) = 4 x + 1$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $e^{4x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 4$, diferència inicial $\frac{1}{100}$ i $t - t_0 = 1$:

$\text{cota} = \frac{1}{100}\,e^{4\cdot1} = \frac{1}{100}e^{4} \approx 0.5460$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 1 + \int_0^{x} 4\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 1$ constant:

$y_1(x) = 1 + \int_0^{x} 4\cdot1\,ds = 4 x + 1$

Pas 2. Ara hi fiquem $y_1$:

$y_2(x) = 1 + \int_0^{x} 4\,y_1(s)\,ds = 8 x^{2} + 4 x + 1$

Resultat: $y_{2}(x) = 8 x^{2} + 4 x + 1$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $e^{4x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 4$, diferència inicial $\frac{1}{100}$ i $t - t_0 = 2$:

$\text{cota} = \frac{1}{100}\,e^{4\cdot2} = \frac{1}{100}e^{8} \approx 29.8096$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.