Exercicis d'existència i unicitat

Per què importa. Lipschitz és la hipòtesi que dona unicitat al teorema de Picard i Lindelöf. Amb continuïtat sola tens existència (Peano) però pots tenir infinites solucions.

La comprovació. Per a $f(y) = 3y + 7$: és afí i la constant és el pendent.

Resposta: Sí, globalment.

L'exemple clàssic del que passa quan falla és $y' = 2\sqrt{|y|}$ amb $y(0) = 0$: la solució pot quedar-se quieta tant de temps com vulgui abans d'arrencar, i per tant n'hi ha infinites.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 1$, diferència inicial $\frac{1}{2}$ i $t - t_0 = 2$:

$\text{cota} = \frac{1}{2}\,e^{1\cdot2} = \frac{1}{2}e^{2} \approx 3.6945$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

Pas 1 — separar.

$\frac{dy}{y^{2}} = dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C$

Pas 2 — condició inicial. A $x = 0$, $-1/(-4) = C$, o sigui $C = \frac{1}{4}$.

Pas 3 — aïllar.

$y(x) = \frac{1}{- \frac{1}{4} - x}$

Pas 4 — on peta. El denominador s'anul·la a

$x = - \frac{1}{4} \approx -0.2500$

Fixa't en una cosa important: el camp $f(y) = y^{2}$ és un polinomi, suau a tot arreu, sense cap singularitat. I tanmateix la solució explota en temps finit. La suavitat del camp és local i no garanteix existència global.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 2 + \int_0^{x} 2\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 2$ constant:

$y_1(x) = 2 + \int_0^{x} 2\cdot2\,ds = 4 x + 2$

Resultat: $y_{1}(x) = 4 x + 2$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $2e^{2x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

Per què importa. Lipschitz és la hipòtesi que dona unicitat al teorema de Picard i Lindelöf. Amb continuïtat sola tens existència (Peano) però pots tenir infinites solucions.

La comprovació. Per a $f(y) = y|y|$: la derivada $2|y|$ és contínua.

Resposta: Sí, localment.

L'exemple clàssic del que passa quan falla és $y' = 2\sqrt{|y|}$ amb $y(0) = 0$: la solució pot quedar-se quieta tant de temps com vulgui abans d'arrencar, i per tant n'hi ha infinites.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 1$, diferència inicial $\frac{1}{2}$ i $t - t_0 = 3$:

$\text{cota} = \frac{1}{2}\,e^{1\cdot3} = \frac{1}{2}e^{3} \approx 10.0428$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

Pas 1 — separar.

$\frac{dy}{y^{2}} = dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C$

Pas 2 — condició inicial. A $x = 0$, $-1/(-5) = C$, o sigui $C = \frac{1}{5}$.

Pas 3 — aïllar.

$y(x) = \frac{1}{- \frac{1}{5} - x}$

Pas 4 — on peta. El denominador s'anul·la a

$x = - \frac{1}{5} \approx -0.2000$

Fixa't en una cosa important: el camp $f(y) = y^{2}$ és un polinomi, suau a tot arreu, sense cap singularitat. I tanmateix la solució explota en temps finit. La suavitat del camp és local i no garanteix existència global.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 2 + \int_0^{x} 2\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 2$ constant:

$y_1(x) = 2 + \int_0^{x} 2\cdot2\,ds = 4 x + 2$

Pas 2. Ara hi fiquem $y_1$:

$y_2(x) = 2 + \int_0^{x} 2\,y_1(s)\,ds = 4 x^{2} + 4 x + 2$

Resultat: $y_{2}(x) = 4 x^{2} + 4 x + 2$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $2e^{2x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

Per què importa. Lipschitz és la hipòtesi que dona unicitat al teorema de Picard i Lindelöf. Amb continuïtat sola tens existència (Peano) però pots tenir infinites solucions.

La comprovació. Per a $f(y) = \sqrt{|y|} + y$: el sumand de l'arrel ja trenca la condició.

Resposta: No, a prop de $y = 0$.

L'exemple clàssic del que passa quan falla és $y' = 2\sqrt{|y|}$ amb $y(0) = 0$: la solució pot quedar-se quieta tant de temps com vulgui abans d'arrencar, i per tant n'hi ha infinites.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 2$, diferència inicial $\frac{1}{10}$ i $t - t_0 = 1$:

$\text{cota} = \frac{1}{10}\,e^{2\cdot1} = \frac{1}{10}e^{2} \approx 0.7389$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.