Exercicis d'existència i unicitat

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 2 + \int_0^{x} -3\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 2$ constant:

$y_1(x) = 2 + \int_0^{x} -3\cdot2\,ds = 2 - 6 x$

Resultat: $y_{1}(x) = 2 - 6 x$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $2e^{-3x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 2 + \int_0^{x} -3\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 2$ constant:

$y_1(x) = 2 + \int_0^{x} -3\cdot2\,ds = 2 - 6 x$

Pas 2. Ara hi fiquem $y_1$:

$y_2(x) = 2 + \int_0^{x} -3\,y_1(s)\,ds = 9 x^{2} - 6 x + 2$

Resultat: $y_{2}(x) = 9 x^{2} - 6 x + 2$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $2e^{-3x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 3 + \int_0^{x} -3\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 3$ constant:

$y_1(x) = 3 + \int_0^{x} -3\cdot3\,ds = 3 - 9 x$

Resultat: $y_{1}(x) = 3 - 9 x$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $3e^{-3x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 3 + \int_0^{x} -3\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 3$ constant:

$y_1(x) = 3 + \int_0^{x} -3\cdot3\,ds = 3 - 9 x$

Pas 2. Ara hi fiquem $y_1$:

$y_2(x) = 3 + \int_0^{x} -3\,y_1(s)\,ds = \frac{27 x^{2}}{2} - 9 x + 3$

Resultat: $y_{2}(x) = \frac{27 x^{2}}{2} - 9 x + 3$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $3e^{-3x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.