Exercicis d'existència i unicitat

Pas 1 — separar.

$\frac{dy}{y^{2}} = dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C$

Pas 2 — condició inicial. A $x = 0$, $-1/10 = C$, o sigui $C = - \frac{1}{10}$.

Pas 3 — aïllar.

$y(x) = \frac{1}{\frac{1}{10} - x}$

Pas 4 — on peta. El denominador s'anul·la a

$x = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

Fixa't en una cosa important: el camp $f(y) = y^{2}$ és un polinomi, suau a tot arreu, sense cap singularitat. I tanmateix la solució explota en temps finit. La suavitat del camp és local i no garanteix existència global.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 3 + \int_0^{x} 2\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 3$ constant:

$y_1(x) = 3 + \int_0^{x} 2\cdot3\,ds = 6 x + 3$

Resultat: $y_{1}(x) = 6 x + 3$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $3e^{2x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 2$, diferència inicial $\frac{1}{10}$ i $t - t_0 = 2$:

$\text{cota} = \frac{1}{10}\,e^{2\cdot2} = \frac{1}{10}e^{4} \approx 5.4598$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

Pas 1 — separar.

$\frac{dy}{y^{2}} = dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C$

Pas 2 — condició inicial. A $x = 0$, $-1/(-10) = C$, o sigui $C = \frac{1}{10}$.

Pas 3 — aïllar.

$y(x) = \frac{1}{- \frac{1}{10} - x}$

Pas 4 — on peta. El denominador s'anul·la a

$x = - \frac{1}{10} \approx -0.1000$

Fixa't en una cosa important: el camp $f(y) = y^{2}$ és un polinomi, suau a tot arreu, sense cap singularitat. I tanmateix la solució explota en temps finit. La suavitat del camp és local i no garanteix existència global.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 3 + \int_0^{x} 2\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 3$ constant:

$y_1(x) = 3 + \int_0^{x} 2\cdot3\,ds = 6 x + 3$

Pas 2. Ara hi fiquem $y_1$:

$y_2(x) = 3 + \int_0^{x} 2\,y_1(s)\,ds = 6 x^{2} + 6 x + 3$

Resultat: $y_{2}(x) = 6 x^{2} + 6 x + 3$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $3e^{2x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 2$, diferència inicial $\frac{1}{10}$ i $t - t_0 = 3$:

$\text{cota} = \frac{1}{10}\,e^{2\cdot3} = \frac{1}{10}e^{6} \approx 40.3429$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

Pas 1 — separar.

$\frac{dy}{y^{2}} = dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C$

Pas 2 — condició inicial. A $x = 0$, $-1/20 = C$, o sigui $C = - \frac{1}{20}$.

Pas 3 — aïllar.

$y(x) = \frac{1}{\frac{1}{20} - x}$

Pas 4 — on peta. El denominador s'anul·la a

$x = \frac{1}{20} \approx 0.0500$

Fixa't en una cosa important: el camp $f(y) = y^{2}$ és un polinomi, suau a tot arreu, sense cap singularitat. I tanmateix la solució explota en temps finit. La suavitat del camp és local i no garanteix existència global.

La recepta. La formulació integral del problema és

$y(x) = 1 + \int_0^{x} 3\,y(s)\,ds,$

i la iteració de Picard consisteix a anar-hi ficant la iterada anterior.

Pas 1. Amb $y_0(s) = 1$ constant:

$y_1(x) = 1 + \int_0^{x} 3\cdot1\,ds = 3 x + 1$

Resultat: $y_{1}(x) = 3 x + 1$.

Si continuessis, aniries obtenint les sumes parcials de la sèrie de $e^{3x}$, que és exactament la solució. La iteració de Picard no és només un truc de la demostració: produeix aproximacions reconeixibles.

La desigualtat. Si el camp és Lipschitz amb constant $L$, dues solucions compleixen

$\|y(t) - z(t)\| \leq e^{L(t-t_0)}\|y_0 - z_0\|$

Substituint. Amb $L = 2$, diferència inicial $\frac{1}{100}$ i $t - t_0 = 1$:

$\text{cota} = \frac{1}{100}\,e^{2\cdot1} = \frac{1}{100}e^{2} \approx 0.0739$

Molt important: això és una cota superior, no una predicció. Diu que l'error no pot créixer més de pressa que aquesta exponencial; en un sistema estable, de fet, es contrau. El que la cota sí que explica és per què l'horitzó de predicció fiable es fa curt quan $L$ és gran.

Pas 1 — separar.

$\frac{dy}{y^{2}} = dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C$

Pas 2 — condició inicial. A $x = 0$, $-1/\frac{1}{2} = C$, o sigui $C = -2$.

Pas 3 — aïllar.

$y(x) = \frac{1}{2 - x}$

Pas 4 — on peta. El denominador s'anul·la a

$x = 2$

Fixa't en una cosa important: el camp $f(y) = y^{2}$ és un polinomi, suau a tot arreu, sense cap singularitat. I tanmateix la solució explota en temps finit. La suavitat del camp és local i no garanteix existència global.