Exercicis d'intervals de confiança

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $95\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.96$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{25}} = 1.96 \cdot \frac{2}{5} \approx 0.7840$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.645 \cdot \frac{10}{\sqrt{100}} \approx 1.6450$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$20 - 1.6450 \approx 18.3550$

L'interval sencer seria $(18.3550,\ 21.6450)$.

Què vol dir el $90\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $95\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.96$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{36}} = 1.96 \cdot \frac{2}{6} \approx 0.6533$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.645 \cdot \frac{10}{\sqrt{64}} \approx 2.0562$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$20 - 2.0562 \approx 17.9438$

L'interval sencer seria $(17.9438,\ 22.0562)$.

Què vol dir el $90\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $95\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.96$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{49}} = 1.96 \cdot \frac{2}{7} \approx 0.5600$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.96 \cdot \frac{4}{\sqrt{25}} \approx 1.5680$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$50 - 1.5680 \approx 48.4320$

L'interval sencer seria $(48.4320,\ 51.5680)$.

Què vol dir el $95\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 95 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $95\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.96$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{2}{10} \approx 0.3920$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.96 \cdot \frac{4}{\sqrt{100}} \approx 0.7840$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$50 - 0.7840 \approx 49.2160$

L'interval sencer seria $(49.2160,\ 50.7840)$.

Què vol dir el $95\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 95 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $95\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.96$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{64}} = 1.96 \cdot \frac{2}{8} \approx 0.4900$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.96 \cdot \frac{4}{\sqrt{64}} \approx 0.9800$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$50 - 0.9800 \approx 49.0200$

L'interval sencer seria $(49.0200,\ 50.9800)$.

Què vol dir el $95\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 95 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.