Exercicis d'intervals de confiança

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $90\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.645$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.645 \cdot \frac{4}{\sqrt{25}} = 1.645 \cdot \frac{4}{5} \approx 1.3160$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.645 \cdot \frac{6}{\sqrt{64}} \approx 1.2338$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$50 - 1.2338 \approx 48.7662$

L'interval sencer seria $(48.7662,\ 51.2338)$.

Què vol dir el $90\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $90\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.645$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.645 \cdot \frac{4}{\sqrt{36}} = 1.645 \cdot \frac{4}{6} \approx 1.0967$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.645 \cdot \frac{10}{\sqrt{25}} \approx 3.2900$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$50 - 3.2900 \approx 46.7100$

L'interval sencer seria $(46.7100,\ 53.2900)$.

Què vol dir el $90\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $90\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.645$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.645 \cdot \frac{4}{\sqrt{49}} = 1.645 \cdot \frac{4}{7} \approx 0.9400$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.645 \cdot \frac{10}{\sqrt{100}} \approx 1.6450$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$50 - 1.6450 \approx 48.3550$

L'interval sencer seria $(48.3550,\ 51.6450)$.

Què vol dir el $90\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $90\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.645$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.645 \cdot \frac{4}{\sqrt{100}} = 1.645 \cdot \frac{4}{10} \approx 0.6580$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.645 \cdot \frac{10}{\sqrt{64}} \approx 2.0562$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$50 - 2.0562 \approx 47.9438$

L'interval sencer seria $(47.9438,\ 52.0562)$.

Què vol dir el $90\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.

L'error màxim (o semiamplitud) és la meitat de l'interval: el que sumes i restes a la mitjana mostral.

$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El valor crític. Per a un $90\,\%$ de confiança, $z_{\alpha/2} = 1.645$. Val la pena memoritzar els tres: $1{,}645$ per al 90 %, $1{,}96$ per al 95 % i $2{,}576$ per al 99 %.

Substituint:

$E = 1.645 \cdot \frac{4}{\sqrt{64}} = 1.645 \cdot \frac{4}{8} \approx 0.8225$

Fixa't en una cosa important: l'error va dividit per $\sqrt{n}$. Per reduir-lo a la meitat no n'hi ha prou de doblar la mostra: cal multiplicar-la per quatre.

Un interval de confiança sempre té la mateixa forma: la mitjana mostral al centre, i l'error a banda i banda.

$IC = \left(\bar{x} - E,\ \bar{x} + E\right)$

Pas 1 — calcular l'error:

$E = 1.645 \cdot \frac{4}{\sqrt{25}} \approx 1.3160$

Pas 2 — restar-lo a la mitjana:

$100 - 1.3160 \approx 98.6840$

L'interval sencer seria $(98.6840,\ 101.3160)$.

Què vol dir el $90\,\%$: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals que construiríem contindrien la mitjana real de la població.