Exercicis de posicions relatives

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(-2, 3, -2)$
• Normal de $\pi_2$: $(-6, 9, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{-6}{-2} = 3$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 3 \cdot (-2) = -6$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 0)$

Dona el vector zero, o sigui que sí que són proporcionals: les rectes van en la mateixa direcció. Només falta saber si són la mateixa recta o dues de diferents, i això es mira comprovant si el punt $B$ és a la recta $r$.

El punt $B$ no és a $r$: són paral·leles i diferents.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(4, 1, 2)$
• Normal de $\pi_2$: $(16, 4, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{16}{4} = 4$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 4 \cdot 2 = 8$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (-5, 8, 1)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (4, 2, 4)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = 0$

Dona zero: els tres vectors són al mateix pla, i per tant les rectes es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(3, -3, 1)$
• Normal de $\pi_2$: $(12, -12, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{12}{3} = 4$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 4 \cdot 1 = 4$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (-1, -2, 1)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (-4, 1, 1)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = 3$

Dona diferent de zero: els vectors no són coplanaris. Les rectes es creuen, que vol dir que no es toquen i tampoc són paral·leles. És el cas que només existeix a l'espai: al pla, dues rectes no paral·leles sempre es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(4, 3, 1)$
• Normal de $\pi_2$: $(12, 9, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{12}{4} = 3$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 3 \cdot 1 = 3$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 0)$

Dona el vector zero, o sigui que sí que són proporcionals: les rectes van en la mateixa direcció. Només falta saber si són la mateixa recta o dues de diferents, i això es mira comprovant si el punt $B$ és a la recta $r$.

El punt $B$ no és a $r$: són paral·leles i diferents.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(1, 3, -2)$
• Normal de $\pi_2$: $(3, 9, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{3}{1} = 3$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 3 \cdot (-2) = -6$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.