Exercicis de posicions relatives

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(3, -3, 4)$
• Normal de $\pi_2$: $(4, 2, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(3)(4) + (-3)(2) + (4)k = 0$

$= 6 + 4k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = - \frac{3}{2} \approx -1.5000$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (10, 6, -8)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (-2, 6, 2)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = 0$

Dona zero: els tres vectors són al mateix pla, i per tant les rectes es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(4, -3, 3)$
• Normal de $\pi_2$: $(8, -6, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{8}{4} = 2$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 2 \cdot 3 = 6$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(-2) + (2)(2) + k(-2) = 0$

$= 2 - 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 1$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(1, 4, 2)$
• Normal de $\pi_2$: $(-2, -2, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(1)(-2) + (4)(-2) + (2)k = 0$

$= -10 + 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 5$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (-8, 5, -2)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (2, -4, -3)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = -30$

Dona diferent de zero: els vectors no són coplanaris. Les rectes es creuen, que vol dir que no es toquen i tampoc són paral·leles. És el cas que només existeix a l'espai: al pla, dues rectes no paral·leles sempre es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(4, -1, 4)$
• Normal de $\pi_2$: $(12, -3, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{12}{4} = 3$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 3 \cdot 4 = 12$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-2)(3) + (-3)(-1) + k(2) = 0$

$= -3 + 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{3}{2} \approx 1.5000$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(-3, 3, 1)$
• Normal de $\pi_2$: $(2, 4, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(-3)(2) + (3)(4) + (1)k = 0$

$= 6 + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -6$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 0)$

Dona el vector zero, o sigui que sí que són proporcionals: les rectes van en la mateixa direcció. Només falta saber si són la mateixa recta o dues de diferents, i això es mira comprovant si el punt $B$ és a la recta $r$.

El punt $B$ no és a $r$: són paral·leles i diferents.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.