Simulacre d'examen de posicions relatives

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(-2) + (2)(1) + k(2) = 0$

$= 4 + 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -2$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (1, 1, -3)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (2, 4, 2)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = 0$

Dona zero: els tres vectors són al mateix pla, i per tant les rectes es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (-3, 3, 0)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (6, 6, -2)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = 0$

Dona zero: els tres vectors són al mateix pla, i per tant les rectes es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(4, -1, 2)$
• Normal de $\pi_2$: $(4, 3, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(4)(4) + (-1)(3) + (2)k = 0$

$= 13 + 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = - \frac{13}{2} \approx -6.5000$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(1, 3, -3)$
• Normal de $\pi_2$: $(-1, -2, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(1)(-1) + (3)(-2) + (-3)k = 0$

$= -7 - 3k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = - \frac{7}{3} \approx -2.3333$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(2, -1, 3)$
• Normal de $\pi_2$: $(3, -2, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(2)(3) + (-1)(-2) + (3)k = 0$

$= 8 + 3k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = - \frac{8}{3} \approx -2.6667$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (3)(4) + (-2)(-3) + k(2) = 0$

$= 18 + 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -9$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1)(-3) + (-2)(4) + k(-2) = 0$

$= -5 - 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = - \frac{5}{2} \approx -2.5000$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(-3, 1, 4)$
• Normal de $\pi_2$: $(-6, 2, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{-6}{-3} = 2$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 2 \cdot 4 = 8$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(-1, -2, 2)$
• Normal de $\pi_2$: $(2, 4, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{2}{-1} = -2$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = -2 \cdot 2 = -4$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(-3, -1, 3)$
• Normal de $\pi_2$: $(-12, -4, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{-12}{-3} = 4$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 4 \cdot 3 = 12$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(-1, -3, 2)$
• Normal de $\pi_2$: $(-4, -12, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{-4}{-1} = 4$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 4 \cdot 2 = 8$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.