Exercicis de posicions relatives

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(3, -3, -3)$
• Normal de $\pi_2$: $(-6, 6, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{-6}{3} = -2$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = -2 \cdot (-3) = 6$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(2) + (-1)(3) + k(1) = 0$

$= 1 + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -1$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(-3, -1, 1)$
• Normal de $\pi_2$: $(3, 4, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(-3)(3) + (-1)(4) + (1)k = 0$

$= -13 + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 13$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (6, 9, -7)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (-2, 6, 6)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = 0$

Dona zero: els tres vectors són al mateix pla, i per tant les rectes es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(3, 3, -2)$
• Normal de $\pi_2$: $(12, 12, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{12}{3} = 4$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 4 \cdot (-2) = -8$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(4) + (1)(-3) + k(-2) = 0$

$= 5 - 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{5}{2} \approx 2.5000$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).

Que dos plans siguin perpendiculars vol dir que es tallen formant un angle recte, i això passa exactament quan els seus vectors normals són perpendiculars.

• Normal de $\pi_1$: $(1, 3, -3)$
• Normal de $\pi_2$: $(-1, -2, k)$

Imposem que el producte escalar sigui zero:

$(1)(-1) + (3)(-2) + (-3)k = 0$

$= -7 - 3k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = - \frac{7}{3} \approx -2.3333$

No confonguis els dos criteris: paral·lels vol dir normals proporcionals; perpendiculars vol dir normals amb producte escalar zero.

La posició relativa de dues rectes a l'espai es decideix sempre en dos passos.

Pas 1 — els directors són proporcionals?

$\vec{u} \times \vec{v} = (2, -5, 1)$

No dona zero: els directors no són proporcionals, o sigui que les rectes van en direccions diferents. Ara cal saber si es troben o no.

Pas 2 — són al mateix pla? Es mira amb el determinant dels tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\overrightarrow{AB} = (0, 0, 1)$:

$\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{v} \\ \overrightarrow{AB} \end{vmatrix} = 1$

Dona diferent de zero: els vectors no són coplanaris. Les rectes es creuen, que vol dir que no es toquen i tampoc són paral·leles. És el cas que només existeix a l'espai: al pla, dues rectes no paral·leles sempre es tallen.

Resum: directors proporcionals → paral·leles o coincidents. Si no → determinant zero vol dir que es tallen, i diferent de zero, que es creuen.

Dos plans són paral·lels quan apunten en la mateixa direcció, i la direcció d'un pla la marca el seu vector normal. Per tant, els normals han de ser proporcionals.

• Normal de $\pi_1$: $(-1, 4, -2)$
• Normal de $\pi_2$: $(-2, 8, k)$

Mirant les dues primeres components veiem la proporció:

$\frac{-2}{-1} = 2$

La tercera ha de seguir la mateixa proporció:

$k = 2 \cdot (-2) = -4$

Amb aquest valor els normals són proporcionals i els plans, paral·lels. Els termes independents no hi entren: només decideixen si són paral·lels de veritat o el mateix pla.

Aquesta és de les que més confonen, perquè cal pensar-hi al revés del que sembla.

Si la recta és paral·lela al pla, va «arran» del pla, sense travessar-lo. I el vector normal és perpendicular al pla. Per tant, el director de la recta i el normal del pla han de ser perpendiculars entre ells, cosa que vol dir producte escalar zero.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-2)(-1) + (4)(-2) + k(3) = 0$

$= -6 + 3k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 2$

Resum: recta paral·lela al pla → director ⊥ normal (escalar zero). Recta perpendicular al pla → director paral·lel al normal (components proporcionals).