Exercicis d'esperança, variància i teoremes límit

Pas 1 — la covariància. Les desviacions típiques són $\sqrt{1} = 1$ i $\sqrt{4} = 2$, o sigui

$\operatorname{Cov} = - \frac{1}{2}\cdot1\cdot2 = -1$

Pas 2 — la fórmula.

$\operatorname{Var}(X+Y) = 1 + 4 + 2\cdot(-1) = 3$

Què hauria passat sense correlació. Si fossin independents sortiria $5$. La correlació negativa fa que es compensin, i per això la variància baixa.

I per a la diferència? El terme creuat canviaria de signe: sortiria $7$.

Pas 1 — la variància de la mitjana. Amb observacions independents,

$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{1}{100} = \frac{1}{100}$

Aquest és el pas que més es falla: es posa la variància de les dades en comptes de la de la mitjana.

Pas 2 — Txebixev.

$\mathbb{P}(|\bar X - \mu| \geq \frac{1}{2}) \leq \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{25} \approx 0.0400$

El valor i el preu d'aquesta cota. No suposa cap forma de distribució, o sigui que sempre és vàlida. Però sol ser molt conservadora: si poguessis justificar l'aproximació normal, la probabilitat real seria força més petita.

La fórmula.

$\text{ee} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \approx 0.4000$

Per què no és $2$. La desviació típica $2$ diu com d'escampades són les observacions. L'error estàndard diu com d'escampada estaria la mitjana si repetissis tot l'estudi. Amb $25$ observacions, la segona és 5 vegades més petita.

La conseqüència pràctica. Com que hi ha una arrel, per dividir l'error per dos cal quadruplicar la mostra. La precisió es paga molt cara, i per això sovint rendeix més millorar el disseny que recollir més dades.

D'on surt. Una binomial és la suma de $20$ Bernoullis independents. Com que són independents, les variàncies se sumen, i cada Bernoulli aporta $p(1-p)$:

$\operatorname{Var}X = 20\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4} = \frac{15}{4} \approx 3.7500$

De pas, l'esperança és $np = 5$, que és un número diferent.

Un detall que surt sovint a examen: la variància és màxima quan $p = 1/2$ i tendeix a zero quan $p$ s'acosta a $0$ o a $1$. Té sentit: si gairebé sempre passa el mateix, hi ha poca incertesa.

Pas 1 — la covariància. Les desviacions típiques són $\sqrt{1} = 1$ i $\sqrt{4} = 2$, o sigui

$\operatorname{Cov} = 0\cdot1\cdot2 = 0$

Pas 2 — la fórmula.

$\operatorname{Var}(X+Y) = 1 + 4 + 2\cdot0 = 5$

Què hauria passat sense correlació. Si fossin independents sortiria $5$. Amb correlació zero el terme creuat desapareix i queda exactament la suma.

I per a la diferència? El terme creuat canviaria de signe: sortiria $5$.

Pas 1 — la variància de la mitjana. Amb observacions independents,

$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{1}{400} = \frac{1}{400}$

Aquest és el pas que més es falla: es posa la variància de les dades en comptes de la de la mitjana.

Pas 2 — Txebixev.

$\mathbb{P}(|\bar X - \mu| \geq 1) \leq \frac{\frac{1}{400}}{1} = \frac{1}{400} \approx 0.0025$

El valor i el preu d'aquesta cota. No suposa cap forma de distribució, o sigui que sempre és vàlida. Però sol ser molt conservadora: si poguessis justificar l'aproximació normal, la probabilitat real seria força més petita.

La fórmula.

$\text{ee} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Per què no és $2$. La desviació típica $2$ diu com d'escampades són les observacions. L'error estàndard diu com d'escampada estaria la mitjana si repetissis tot l'estudi. Amb $100$ observacions, la segona és 10 vegades més petita.

La conseqüència pràctica. Com que hi ha una arrel, per dividir l'error per dos cal quadruplicar la mostra. La precisió es paga molt cara, i per això sovint rendeix més millorar el disseny que recollir més dades.

D'on surt. Una binomial és la suma de $20$ Bernoullis independents. Com que són independents, les variàncies se sumen, i cada Bernoulli aporta $p(1-p)$:

$\operatorname{Var}X = 20\cdot\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{10} = \frac{21}{5} \approx 4.2000$

De pas, l'esperança és $np = 6$, que és un número diferent.

Un detall que surt sovint a examen: la variància és màxima quan $p = 1/2$ i tendeix a zero quan $p$ s'acosta a $0$ o a $1$. Té sentit: si gairebé sempre passa el mateix, hi ha poca incertesa.

Pas 1 — la covariància. Les desviacions típiques són $\sqrt{1} = 1$ i $\sqrt{4} = 2$, o sigui

$\operatorname{Cov} = \frac{4}{5}\cdot1\cdot2 = \frac{8}{5}$

Pas 2 — la fórmula.

$\operatorname{Var}(X+Y) = 1 + 4 + 2\cdot\frac{8}{5} = \frac{41}{5}$

Què hauria passat sense correlació. Si fossin independents sortiria $5$. La correlació positiva fa que les desviacions tendeixin a anar en el mateix sentit i s'acumulin, i per això la variància puja.

I per a la diferència? El terme creuat canviaria de signe: sortiria $\frac{9}{5}$.

Pas 1 — la variància de la mitjana. Amb observacions independents,

$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{1}{400} = \frac{1}{400}$

Aquest és el pas que més es falla: es posa la variància de les dades en comptes de la de la mitjana.

Pas 2 — Txebixev.

$\mathbb{P}(|\bar X - \mu| \geq 2) \leq \frac{\frac{1}{400}}{4} = \frac{1}{1600} \approx 0.0006$

El valor i el preu d'aquesta cota. No suposa cap forma de distribució, o sigui que sempre és vàlida. Però sol ser molt conservadora: si poguessis justificar l'aproximació normal, la probabilitat real seria força més petita.