Simulacre d'examen d'esperança, variància i teoremes límit

Pas 1 — la covariància. Les desviacions típiques són $\sqrt{4} = 2$ i $\sqrt{9} = 3$, o sigui

$\operatorname{Cov} = \frac{1}{2}\cdot2\cdot3 = 3$

Pas 2 — la fórmula.

$\operatorname{Var}(X+Y) = 4 + 9 + 2\cdot3 = 19$

Què hauria passat sense correlació. Si fossin independents sortiria $13$. La correlació positiva fa que les desviacions tendeixin a anar en el mateix sentit i s'acumulin, i per això la variància puja.

I per a la diferència? El terme creuat canviaria de signe: sortiria $7$.

Pas 1 — la covariància. Les desviacions típiques són $\sqrt{1} = 1$ i $\sqrt{4} = 2$, o sigui

$\operatorname{Cov} = \frac{1}{2}\cdot1\cdot2 = 1$

Pas 2 — la fórmula.

$\operatorname{Var}(X+Y) = 1 + 4 + 2\cdot1 = 7$

Què hauria passat sense correlació. Si fossin independents sortiria $5$. La correlació positiva fa que les desviacions tendeixin a anar en el mateix sentit i s'acumulin, i per això la variància puja.

I per a la diferència? El terme creuat canviaria de signe: sortiria $3$.

Pas 1 — la covariància. Les desviacions típiques són $\sqrt{16} = 4$ i $\sqrt{25} = 5$, o sigui

$\operatorname{Cov} = \frac{1}{2}\cdot4\cdot5 = 10$

Pas 2 — la fórmula.

$\operatorname{Var}(X+Y) = 16 + 25 + 2\cdot10 = 61$

Què hauria passat sense correlació. Si fossin independents sortiria $41$. La correlació positiva fa que les desviacions tendeixin a anar en el mateix sentit i s'acumulin, i per això la variància puja.

I per a la diferència? El terme creuat canviaria de signe: sortiria $21$.

Pas 1 — la covariància. Les desviacions típiques són $\sqrt{9} = 3$ i $\sqrt{16} = 4$, o sigui

$\operatorname{Cov} = \frac{1}{2}\cdot3\cdot4 = 6$

Pas 2 — la fórmula.

$\operatorname{Var}(X+Y) = 9 + 16 + 2\cdot6 = 37$

Què hauria passat sense correlació. Si fossin independents sortiria $25$. La correlació positiva fa que les desviacions tendeixin a anar en el mateix sentit i s'acumulin, i per això la variància puja.

I per a la diferència? El terme creuat canviaria de signe: sortiria $13$.

Pas 1 — la variància de la mitjana. Amb observacions independents,

$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{4}{400} = \frac{1}{100}$

Aquest és el pas que més es falla: es posa la variància de les dades en comptes de la de la mitjana.

Pas 2 — Txebixev.

$\mathbb{P}(|\bar X - \mu| \geq 2) \leq \frac{\frac{1}{100}}{4} = \frac{1}{400} \approx 0.0025$

El valor i el preu d'aquesta cota. No suposa cap forma de distribució, o sigui que sempre és vàlida. Però sol ser molt conservadora: si poguessis justificar l'aproximació normal, la probabilitat real seria força més petita.

Pas 1 — la variància de la mitjana. Amb observacions independents,

$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{100} = \frac{9}{100}$

Aquest és el pas que més es falla: es posa la variància de les dades en comptes de la de la mitjana.

Pas 2 — Txebixev.

$\mathbb{P}(|\bar X - \mu| \geq 1) \leq \frac{\frac{9}{100}}{1} = \frac{9}{100} \approx 0.0900$

El valor i el preu d'aquesta cota. No suposa cap forma de distribució, o sigui que sempre és vàlida. Però sol ser molt conservadora: si poguessis justificar l'aproximació normal, la probabilitat real seria força més petita.

Pas 1 — la variància de la mitjana. Amb observacions independents,

$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{400} = \frac{9}{400}$

Aquest és el pas que més es falla: es posa la variància de les dades en comptes de la de la mitjana.

Pas 2 — Txebixev.

$\mathbb{P}(|\bar X - \mu| \geq \frac{1}{2}) \leq \frac{\frac{9}{400}}{\frac{1}{4}} = \frac{9}{100} \approx 0.0900$

El valor i el preu d'aquesta cota. No suposa cap forma de distribució, o sigui que sempre és vàlida. Però sol ser molt conservadora: si poguessis justificar l'aproximació normal, la probabilitat real seria força més petita.

Pas 1 — la variància de la mitjana. Amb observacions independents,

$\operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{16}{400} = \frac{1}{25}$

Aquest és el pas que més es falla: es posa la variància de les dades en comptes de la de la mitjana.

Pas 2 — Txebixev.

$\mathbb{P}(|\bar X - \mu| \geq \frac{1}{2}) \leq \frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{25} \approx 0.1600$

El valor i el preu d'aquesta cota. No suposa cap forma de distribució, o sigui que sempre és vàlida. Però sol ser molt conservadora: si poguessis justificar l'aproximació normal, la probabilitat real seria força més petita.

La fórmula.

$\text{ee} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Per què no és $1$. La desviació típica $1$ diu com d'escampades són les observacions. L'error estàndard diu com d'escampada estaria la mitjana si repetissis tot l'estudi. Amb $16$ observacions, la segona és 4 vegades més petita.

La conseqüència pràctica. Com que hi ha una arrel, per dividir l'error per dos cal quadruplicar la mostra. La precisió es paga molt cara, i per això sovint rendeix més millorar el disseny que recollir més dades.

D'on surt. Una binomial és la suma de $20$ Bernoullis independents. Com que són independents, les variàncies se sumen, i cada Bernoulli aporta $p(1-p)$:

$\operatorname{Var}X = 20\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = 5$

De pas, l'esperança és $np = 10$, que és un número diferent.

Un detall que surt sovint a examen: la variància és màxima quan $p = 1/2$ i tendeix a zero quan $p$ s'acosta a $0$ o a $1$. Té sentit: si gairebé sempre passa el mateix, hi ha poca incertesa.

La fórmula.

$\text{ee} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \approx 0.6000$

Per què no és $3$. La desviació típica $3$ diu com d'escampades són les observacions. L'error estàndard diu com d'escampada estaria la mitjana si repetissis tot l'estudi. Amb $25$ observacions, la segona és 5 vegades més petita.

La conseqüència pràctica. Com que hi ha una arrel, per dividir l'error per dos cal quadruplicar la mostra. La precisió es paga molt cara, i per això sovint rendeix més millorar el disseny que recollir més dades.

D'on surt. Una binomial és la suma de $100$ Bernoullis independents. Com que són independents, les variàncies se sumen, i cada Bernoulli aporta $p(1-p)$:

$\operatorname{Var}X = 100\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4} = \frac{75}{4} \approx 18.7500$

De pas, l'esperança és $np = 25$, que és un número diferent.

Un detall que surt sovint a examen: la variància és màxima quan $p = 1/2$ i tendeix a zero quan $p$ s'acosta a $0$ o a $1$. Té sentit: si gairebé sempre passa el mateix, hi ha poca incertesa.