Exercicis d'espais de probabilitat i condicionament

Pas 1 — els dos camins. Una peça defectuosa pot venir de la A o de la B:

$\mathbb{P}(A\cap D) = \frac{3}{5}\cdot\frac{3}{100} = \frac{9}{500}, \qquad \mathbb{P}(B\cap D) = \frac{2}{5}\cdot\frac{2}{25} = \frac{4}{125}$

Pas 2 — probabilitat total. Sumant els dos camins, que són disjunts:

$\mathbb{P}(D) = \frac{1}{20} \approx 0.0500$

Pas 3 — Bayes. La pregunta inverteix el condicionament:

$\mathbb{P}(B\mid D) = \frac{\mathbb{P}(B\cap D)}{\mathbb{P}(D)} = \frac{\frac{4}{125}}{\frac{1}{20}} \approx 0.6400$

Compte amb la confusió típica. La probabilitat de defecte donada la màquina B és $\frac{2}{25}$; la de màquina B donat el defecte és $0.6400$. Són dos números diferents i intercanviar-los és l'error més car de tot el tema.

Pas 1 — positius vertaders.

$\frac{1}{100}\cdot\frac{9}{10} = \frac{9}{1000}$

Pas 2 — falsos positius.

$\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{100} = \frac{99}{10000}$

Pas 3 — total de positius i Bayes.

$\mathbb{P}(M\mid +) = \frac{\frac{9}{1000}}{\frac{189}{10000}} \approx 0.4762$

Per què surt tan baix. Els sans són moltíssims més que els malalts, i per tant un percentatge petit de falsos positius entre molta gent genera més positius que la detecció correcta entre pocs malalts. Aquesta és la raó per la qual els cribratges de malalties rares es confirmen sempre amb una segona prova.

Pas 1 — la regla del producte encadenada.

$\mathbb{P}(V_1\cap V_2) = \mathbb{P}(V_1)\,\mathbb{P}(V_2\mid V_1)$

Pas 2 — els dos factors. El primer és $\frac{5}{9}$. El segon és $\frac{1}{2}$: després de treure una vermella queden $4$ vermelles de $8$ boles.

$\mathbb{P} = \frac{5}{9}\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{18} \approx 0.2778$

Comprovació alternativa. Comptant conjunts, $\binom{5}{2}/\binom{9}{2} = 10/36 = \frac{5}{18}$. Coincideix.

Fixa't que les dues extraccions no són independents: si ho fossin, el segon factor tornaria a ser $\frac{5}{9}$.

La fórmula i el seu perquè.

$\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B)$

En sumar les dues probabilitats, la zona comuna s'ha comptat dues vegades: per això se'n resta una.

Substituint.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \approx 0.9000$

Comprovació de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($\frac{1}{2}$) i $1$. Si et surt per fora, hi ha un error a les dades o al càlcul. A més, fixa't que si fossin independents la intersecció hauria de valer $\frac{1}{4}$: aquí no ho són.

Les dues comprovacions són diferents.

Producte de les probabilitats: $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$. Intersecció donada: $0$.

La intersecció és zero, o sigui que són incompatibles. I com que totes dues tenen probabilitat positiva, el producte no és zero: per tant no són independents.

La confusió que cal desmuntar. «Incompatibles» i «independents» sonen semblants i són gairebé oposats: si dos successos de probabilitat positiva són incompatibles, saber que ha passat un et diu amb certesa que l'altre no, cosa que és la dependència més forta possible.

Pas 1 — els dos camins. Una peça defectuosa pot venir de la A o de la B:

$\mathbb{P}(A\cap D) = \frac{7}{10}\cdot\frac{1}{50} = \frac{7}{500}, \qquad \mathbb{P}(B\cap D) = \frac{3}{10}\cdot\frac{1}{20} = \frac{3}{200}$

Pas 2 — probabilitat total. Sumant els dos camins, que són disjunts:

$\mathbb{P}(D) = \frac{29}{1000} \approx 0.0290$

Pas 3 — Bayes. La pregunta inverteix el condicionament:

$\mathbb{P}(B\mid D) = \frac{\mathbb{P}(B\cap D)}{\mathbb{P}(D)} = \frac{\frac{3}{200}}{\frac{29}{1000}} \approx 0.5172$

Compte amb la confusió típica. La probabilitat de defecte donada la màquina B és $\frac{1}{20}$; la de màquina B donat el defecte és $0.5172$. Són dos números diferents i intercanviar-los és l'error més car de tot el tema.

Pas 1 — positius vertaders.

$\frac{1}{200}\cdot\frac{99}{100} = \frac{99}{20000}$

Pas 2 — falsos positius.

$\frac{199}{200}\cdot\frac{1}{20} = \frac{199}{4000}$

Pas 3 — total de positius i Bayes.

$\mathbb{P}(M\mid +) = \frac{\frac{99}{20000}}{\frac{547}{10000}} \approx 0.0905$

Per què surt tan baix. Els sans són moltíssims més que els malalts, i per tant un percentatge petit de falsos positius entre molta gent genera més positius que la detecció correcta entre pocs malalts. Aquesta és la raó per la qual els cribratges de malalties rares es confirmen sempre amb una segona prova.

Pas 1 — la regla del producte encadenada.

$\mathbb{P}(V_1\cap V_2) = \mathbb{P}(V_1)\,\mathbb{P}(V_2\mid V_1)$

Pas 2 — els dos factors. El primer és $\frac{3}{4}$. El segon és $\frac{5}{7}$: després de treure una vermella queden $5$ vermelles de $7$ boles.

$\mathbb{P} = \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{7} = \frac{15}{28} \approx 0.5357$

Comprovació alternativa. Comptant conjunts, $\binom{6}{2}/\binom{8}{2} = 15/28 = \frac{15}{28}$. Coincideix.

Fixa't que les dues extraccions no són independents: si ho fossin, el segon factor tornaria a ser $\frac{3}{4}$.

La fórmula i el seu perquè.

$\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B)$

En sumar les dues probabilitats, la zona comuna s'ha comptat dues vegades: per això se'n resta una.

Substituint.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \approx 0.8000$

Comprovació de coherència. El resultat ha de quedar entre el més gran dels dos ($\frac{1}{2}$) i $1$. Si et surt per fora, hi ha un error a les dades o al càlcul. A més, fixa't que si fossin independents la intersecció hauria de valer $\frac{1}{4}$: aquí no ho són.

Les dues comprovacions són diferents.

Producte de les probabilitats: $\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{5}$. Intersecció donada: $\frac{1}{2}$.

No coincideixen i la intersecció tampoc no és zero, o sigui que ni una cosa ni l'altra.

La confusió que cal desmuntar. «Incompatibles» i «independents» sonen semblants i són gairebé oposats: si dos successos de probabilitat positiva són incompatibles, saber que ha passat un et diu amb certesa que l'altre no, cosa que és la dependència més forta possible.