Exercicis de combinatòria i recompte

La fórmula.

$\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!\,8!} = 165$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $11\cdot10\cdots9 = 990$. Però cada subconjunt s'ha comptat $3! = 6$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{11}{3} = \binom{11}{8}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

El model. Representa les $15$ unitats com a estrelles i posa-hi $1$ barres per repartir-les en $2$ grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.

El recompte. Hi ha $16$ posicions en total i cal triar quines $1$ són barres:

$\binom{15+2-1}{2-1} = \binom{16}{1} = 16$

Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta $1$ a cadascuna deixaria l'equació amb $13$ a la dreta i el resultat seria $\binom{14}{1} = 14$.

Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.

La fórmula.

$\binom{11}{4} = \frac{11!}{4!\,7!} = 330$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $11\cdot10\cdots8 = 7920$. Però cada subconjunt s'ha comptat $4! = 24$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{11}{4} = \binom{11}{7}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

El model. Representa les $15$ unitats com a estrelles i posa-hi $2$ barres per repartir-les en $3$ grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.

El recompte. Hi ha $17$ posicions en total i cal triar quines $2$ són barres:

$\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2} = 136$

Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta $1$ a cadascuna deixaria l'equació amb $12$ a la dreta i el resultat seria $\binom{14}{2} = 91$.

Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.

La fórmula.

$\binom{11}{5} = \frac{11!}{5!\,6!} = 462$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $11\cdot10\cdots7 = 55440$. Però cada subconjunt s'ha comptat $5! = 120$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{11}{5} = \binom{11}{6}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

El model. Representa les $15$ unitats com a estrelles i posa-hi $3$ barres per repartir-les en $4$ grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.

El recompte. Hi ha $18$ posicions en total i cal triar quines $3$ són barres:

$\binom{15+4-1}{4-1} = \binom{18}{3} = 816$

Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta $1$ a cadascuna deixaria l'equació amb $11$ a la dreta i el resultat seria $\binom{14}{3} = 364$.

Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.

La fórmula.

$\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!\,10!} = 66$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $12\cdot11\cdots11 = 132$. Però cada subconjunt s'ha comptat $2! = 2$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{12}{2} = \binom{12}{10}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

El model. Representa les $15$ unitats com a estrelles i posa-hi $4$ barres per repartir-les en $5$ grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.

El recompte. Hi ha $19$ posicions en total i cal triar quines $4$ són barres:

$\binom{15+5-1}{5-1} = \binom{19}{4} = 3876$

Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta $1$ a cadascuna deixaria l'equació amb $10$ a la dreta i el resultat seria $\binom{14}{4} = 1001$.

Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.

La fórmula.

$\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!\,9!} = 220$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $12\cdot11\cdots10 = 1320$. Però cada subconjunt s'ha comptat $3! = 6$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{12}{3} = \binom{12}{9}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

La fórmula.

$\binom{12}{4} = \frac{12!}{4!\,8!} = 495$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $12\cdot11\cdots9 = 11880$. Però cada subconjunt s'ha comptat $4! = 24$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{12}{4} = \binom{12}{8}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.