Simulacre d'examen de combinatòria i recompte

La fórmula.

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $4\cdot3\cdots3 = 12$. Però cada subconjunt s'ha comptat $2! = 2$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{4}{2} = \binom{4}{2}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

La fórmula.

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $5\cdot4\cdots4 = 20$. Però cada subconjunt s'ha comptat $2! = 2$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{5}{2} = \binom{5}{3}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

El model. Representa les $5$ unitats com a estrelles i posa-hi $3$ barres per repartir-les en $4$ grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.

El recompte. Hi ha $8$ posicions en total i cal triar quines $3$ són barres:

$\binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = 56$

Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta $1$ a cadascuna deixaria l'equació amb $1$ a la dreta i el resultat seria $\binom{4}{3} = 4$.

Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.

Pas 1 — comptar. La paraula té $11$ lletres i les repeticions són: E apareix 3 vegades, N apareix 2 vegades.

Pas 2 — la fórmula.

$\frac{11!}{3! \cdot 2!} = 3326400$

D'on surt la divisió. Si totes les lletres fossin diferents hi hauria $11!$ ordenacions. Però intercanviar entre elles les lletres repetides dona la mateixa paraula, i això passa de tantes maneres com el factorial del grup. Es divideix pel sobrecomptatge de cada grup.

És exactament el mateix argument que justifica el coeficient binomial, aplicat a més d'un grup alhora.

El model. Representa les $7$ unitats com a estrelles i posa-hi $2$ barres per repartir-les en $3$ grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.

El recompte. Hi ha $9$ posicions en total i cal triar quines $2$ són barres:

$\binom{7+3-1}{3-1} = \binom{9}{2} = 36$

Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta $1$ a cadascuna deixaria l'equació amb $4$ a la dreta i el resultat seria $\binom{6}{2} = 15$.

Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.

La fórmula.

$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!\,6!} = 84$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $9\cdot8\cdots7 = 504$. Però cada subconjunt s'ha comptat $3! = 6$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{9}{3} = \binom{9}{6}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.

El model. Representa les $12$ unitats com a estrelles i posa-hi $3$ barres per repartir-les en $4$ grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.

El recompte. Hi ha $15$ posicions en total i cal triar quines $3$ són barres:

$\binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3} = 455$

Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta $1$ a cadascuna deixaria l'equació amb $8$ a la dreta i el resultat seria $\binom{11}{3} = 165$.

Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.

La fórmula.

$\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!\,7!} = 792$

D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien $12\cdot11\cdots8 = 95040$. Però cada subconjunt s'ha comptat $5! = 120$ vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.

Comprovació de simetria. $\binom{12}{5} = \binom{12}{7}$, perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.