De quantes maneres es poden triar 4 elements d'un conjunt de 7, sense que importi l'ordre i sense repetir?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el coeficient binomial (47).
Pista 2.
Calcula'l com 7⋅6⋯ dividit per 4!.
Com es fa
La fórmula.
(47)=4!3!7!=35
D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien 7⋅6⋯4=840. Però cada subconjunt s'ha comptat 4!=24 vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.
Comprovació de simetria.(47)=(37), perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.
Compte amb això.
Fer servir la fórmula de les variacions, que compta l'ordre.
Exercici 2
Quantes solucions enteres no negatives té l'equació x1+⋯+x3=7?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Imagina 7 estrelles en fila i 2 barres per separar-les en 3 grups.
Pista 2.
Només cal triar on van les barres entre les 9 posicions.
Com es fa
El model. Representa les 7 unitats com a estrelles i posa-hi 2 barres per repartir-les en 3 grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.
El recompte. Hi ha 9 posicions en total i cal triar quines 2 són barres:
(3−17+3−1)=(29)=36
Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta 1 a cadascuna deixaria l'equació amb 4 a la dreta i el resultat seria (26)=15.
Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.
Compte amb això.
Fer servir potències, que serien el model d'objectes distingibles.
Exercici 3
De quantes maneres es poden triar 5 elements d'un conjunt de 7, sense que importi l'ordre i sense repetir?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el coeficient binomial (57).
Pista 2.
Calcula'l com 7⋅6⋯ dividit per 5!.
Com es fa
La fórmula.
(57)=5!2!7!=21
D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien 7⋅6⋯3=2520. Però cada subconjunt s'ha comptat 5!=120 vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.
Comprovació de simetria.(57)=(27), perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.
Compte amb això.
Fer servir la fórmula de les variacions, que compta l'ordre.
Exercici 4
Quantes solucions enteres no negatives té l'equació x1+⋯+x4=7?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Imagina 7 estrelles en fila i 3 barres per separar-les en 4 grups.
Pista 2.
Només cal triar on van les barres entre les 10 posicions.
Com es fa
El model. Representa les 7 unitats com a estrelles i posa-hi 3 barres per repartir-les en 4 grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.
El recompte. Hi ha 10 posicions en total i cal triar quines 3 són barres:
(4−17+4−1)=(310)=120
Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta 1 a cadascuna deixaria l'equació amb 3 a la dreta i el resultat seria (36)=20.
Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.
Compte amb això.
Fer servir potències, que serien el model d'objectes distingibles.
Exercici 5
De quantes maneres es poden triar 2 elements d'un conjunt de 8, sense que importi l'ordre i sense repetir?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el coeficient binomial (28).
Pista 2.
Calcula'l com 8⋅7⋯ dividit per 2!.
Com es fa
La fórmula.
(28)=2!6!8!=28
D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien 8⋅7⋯7=56. Però cada subconjunt s'ha comptat 2!=2 vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.
Comprovació de simetria.(28)=(68), perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.
Compte amb això.
Fer servir la fórmula de les variacions, que compta l'ordre.
Exercici 6
Quantes solucions enteres no negatives té l'equació x1+⋯+x5=7?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Imagina 7 estrelles en fila i 4 barres per separar-les en 5 grups.
Pista 2.
Només cal triar on van les barres entre les 11 posicions.
Com es fa
El model. Representa les 7 unitats com a estrelles i posa-hi 4 barres per repartir-les en 5 grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.
El recompte. Hi ha 11 posicions en total i cal triar quines 4 són barres:
(5−17+5−1)=(411)=330
Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta 1 a cadascuna deixaria l'equació amb 2 a la dreta i el resultat seria (46)=15.
Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.
Compte amb això.
Fer servir potències, que serien el model d'objectes distingibles.
Exercici 7
De quantes maneres es poden triar 3 elements d'un conjunt de 8, sense que importi l'ordre i sense repetir?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el coeficient binomial (38).
Pista 2.
Calcula'l com 8⋅7⋯ dividit per 3!.
Com es fa
La fórmula.
(38)=3!5!8!=56
D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien 8⋅7⋯6=336. Però cada subconjunt s'ha comptat 3!=6 vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.
Comprovació de simetria.(38)=(58), perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.
Compte amb això.
Fer servir la fórmula de les variacions, que compta l'ordre.
Exercici 8
Quantes solucions enteres no negatives té l'equació x1+⋯+x2=8?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Imagina 8 estrelles en fila i 1 barres per separar-les en 2 grups.
Pista 2.
Només cal triar on van les barres entre les 9 posicions.
Com es fa
El model. Representa les 8 unitats com a estrelles i posa-hi 1 barres per repartir-les en 2 grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.
El recompte. Hi ha 9 posicions en total i cal triar quines 1 són barres:
(2−18+2−1)=(19)=9
Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta 1 a cadascuna deixaria l'equació amb 6 a la dreta i el resultat seria (17)=7.
Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.
Compte amb això.
Fer servir potències, que serien el model d'objectes distingibles.
Exercici 9
De quantes maneres es poden triar 4 elements d'un conjunt de 8, sense que importi l'ordre i sense repetir?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
És el coeficient binomial (48).
Pista 2.
Calcula'l com 8⋅7⋯ dividit per 4!.
Com es fa
La fórmula.
(48)=4!4!8!=70
D'on surt la divisió. Si l'ordre importés, les tries serien 8⋅7⋯5=1680. Però cada subconjunt s'ha comptat 4!=24 vegades, una per cada manera d'ordenar-lo, i per això es divideix.
Comprovació de simetria.(48)=(48), perquè triar quins entren equival a triar quins queden fora. Si el teu resultat no compleix aquesta simetria, has calculat malament.
Compte amb això.
Fer servir la fórmula de les variacions, que compta l'ordre.
Exercici 10
Quantes solucions enteres no negatives té l'equació x1+⋯+x3=8?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Imagina 8 estrelles en fila i 2 barres per separar-les en 3 grups.
Pista 2.
Només cal triar on van les barres entre les 10 posicions.
Com es fa
El model. Representa les 8 unitats com a estrelles i posa-hi 2 barres per repartir-les en 3 grups. Cada disposició dona una solució i cada solució dona una disposició.
El recompte. Hi ha 10 posicions en total i cal triar quines 2 són barres:
(3−18+3−1)=(210)=45
Si les variables haguessin de ser estrictament positives, el canvi que resta 1 a cadascuna deixaria l'equació amb 5 a la dreta i el resultat seria (27)=21.
Fixa't que aquest model només val per a objectes indistingibles.
Compte amb això.
Fer servir potències, que serien el model d'objectes distingibles.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.