Exercicis de mètodes numèrics

La regla del trapezi substitueix la corba per segments rectes i suma les àrees dels trapezis.

1 — El pas:

$h = \frac{2 - 0}{2} = 1$

2 — La funció als punts:

• $f(0) = 0$
• $f(1) = 2$
• $f(2) = 4$

3 — Aplicar la fórmula. Els extrems compten una vegada i els interiors, dues:

$\frac{1}{2}\left[0 + 2(2) + 4\right] = 4$

El valor exacte és $4$. Coincideix perquè la funció és una recta i els trapezis l'ajusten exactament.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(4) = 13 \qquad f'(4) = 8$

Substituint:

$x_1 = 4 - \frac{13}{8} = \frac{19}{8} \approx 2.3750$

L'arrel de veritat és $\sqrt{3/1} \approx 1.7321$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(3) = -2$ i $f(4) = 5$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}, \qquad f(c) = \frac{5}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[3, \frac{7}{2}]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{13}{4} = 3.2500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.

La regla del trapezi substitueix la corba per segments rectes i suma les àrees dels trapezis.

1 — El pas:

$h = \frac{4 - 0}{2} = 2$

2 — La funció als punts:

• $f(0) = 0$
• $f(2) = 4$
• $f(4) = 8$

3 — Aplicar la fórmula. Els extrems compten una vegada i els interiors, dues:

$\frac{2}{2}\left[0 + 2(4) + 8\right] = 16$

El valor exacte és $16$. Coincideix perquè la funció és una recta i els trapezis l'ajusten exactament.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -4 \qquad f'(1) = 2$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-4}{2} = 3$

L'arrel de veritat és $\sqrt{5/1} \approx 2.2361$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(3) = -3$ i $f(4) = 4$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}, \qquad f(c) = \frac{1}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[3, \frac{7}{2}]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{13}{4} = 3.2500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.

La regla del trapezi substitueix la corba per segments rectes i suma les àrees dels trapezis.

1 — El pas:

$h = \frac{6 - 0}{2} = 3$

2 — La funció als punts:

• $f(0) = 0$
• $f(3) = 6$
• $f(6) = 12$

3 — Aplicar la fórmula. Els extrems compten una vegada i els interiors, dues:

$\frac{3}{2}\left[0 + 2(6) + 12\right] = 36$

El valor exacte és $36$. Coincideix perquè la funció és una recta i els trapezis l'ajusten exactament.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = -1 \qquad f'(2) = 4$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{-1}{4} = \frac{9}{4} \approx 2.2500$

L'arrel de veritat és $\sqrt{5/1} \approx 2.2361$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(3) = -4$ i $f(4) = 3$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}, \qquad f(c) = - \frac{3}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[\frac{7}{2}, 4]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{15}{4} = 3.7500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.

La regla del trapezi substitueix la corba per segments rectes i suma les àrees dels trapezis.

1 — El pas:

$h = \frac{2 - 0}{2} = 1$

2 — La funció als punts:

• $f(0) = 0$
• $f(1) = 2$
• $f(2) = 8$

3 — Aplicar la fórmula. Els extrems compten una vegada i els interiors, dues:

$\frac{1}{2}\left[0 + 2(2) + 8\right] = 6$

El valor exacte és $\frac{16}{3} \approx 5.3333$. L'aproximació sobreestima perquè la corba és convexa i els segments hi queden per sobre.