Simulacre d'examen de mètodes numèrics

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -1 \qquad f'(1) = 2$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac{3}{2} \approx 1.5000$

L'arrel de veritat és $\sqrt{2/1} \approx 1.4142$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(3) = -1$ i $f(4) = 6$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}, \qquad f(c) = \frac{9}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[3, \frac{7}{2}]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{13}{4} = 3.2500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = -3 \qquad f'(2) = 4$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{-3}{4} = \frac{11}{4} \approx 2.7500$

L'arrel de veritat és $\sqrt{7/1} \approx 2.6458$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = -2 \qquad f'(2) = 4$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{-2}{4} = \frac{5}{2} \approx 2.5000$

L'arrel de veritat és $\sqrt{6/1} \approx 2.4495$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = 6 \qquad f'(2) = 8$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{6}{8} = \frac{5}{4} \approx 1.2500$

L'arrel de veritat és $\sqrt{2/2} = 1$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -4 \qquad f'(1) = 4$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-4}{4} = 2$

L'arrel de veritat és $\sqrt{6/2} \approx 1.7321$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = 1 \qquad f'(1) = 6$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$

L'arrel de veritat és $\sqrt{2/3} \approx 0.8165$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -3 \qquad f'(1) = 6$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-3}{6} = \frac{3}{2} \approx 1.5000$

L'arrel de veritat és $\sqrt{6/3} \approx 1.4142$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.