Exercicis de mètodes numèrics

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(2) = -2$ i $f(3) = 3$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}, \qquad f(c) = \frac{1}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[2, \frac{5}{2}]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{9}{4} = 2.2500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.

La regla del trapezi substitueix la corba per segments rectes i suma les àrees dels trapezis.

1 — El pas:

$h = \frac{2 - 0}{2} = 1$

2 — La funció als punts:

• $f(0) = 0$
• $f(1) = 1$
• $f(2) = 4$

3 — Aplicar la fórmula. Els extrems compten una vegada i els interiors, dues:

$\frac{1}{2}\left[0 + 2(1) + 4\right] = 3$

El valor exacte és $\frac{8}{3} \approx 2.6667$. L'aproximació sobreestima perquè la corba és convexa i els segments hi queden per sobre.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -2 \qquad f'(1) = 2$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-2}{2} = 2$

L'arrel de veritat és $\sqrt{3/1} \approx 1.7321$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(2) = -3$ i $f(3) = 2$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}, \qquad f(c) = - \frac{3}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[\frac{5}{2}, 3]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{11}{4} = 2.7500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.

La regla del trapezi substitueix la corba per segments rectes i suma les àrees dels trapezis.

1 — El pas:

$h = \frac{4 - 0}{2} = 2$

2 — La funció als punts:

• $f(0) = 0$
• $f(2) = 4$
• $f(4) = 16$

3 — Aplicar la fórmula. Els extrems compten una vegada i els interiors, dues:

$\frac{2}{2}\left[0 + 2(4) + 16\right] = 24$

El valor exacte és $\frac{64}{3} \approx 21.3333$. L'aproximació sobreestima perquè la corba és convexa i els segments hi queden per sobre.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = 1 \qquad f'(2) = 4$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \approx 1.7500$

L'arrel de veritat és $\sqrt{3/1} \approx 1.7321$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(2) = -4$ i $f(3) = 1$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}, \qquad f(c) = - \frac{7}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[\frac{5}{2}, 3]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{11}{4} = 2.7500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.

La regla del trapezi substitueix la corba per segments rectes i suma les àrees dels trapezis.

1 — El pas:

$h = \frac{6 - 0}{2} = 3$

2 — La funció als punts:

• $f(0) = 0$
• $f(3) = 9$
• $f(6) = 36$

3 — Aplicar la fórmula. Els extrems compten una vegada i els interiors, dues:

$\frac{3}{2}\left[0 + 2(9) + 36\right] = 81$

El valor exacte és $72$. L'aproximació sobreestima perquè la corba és convexa i els segments hi queden per sobre.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(3) = 6 \qquad f'(3) = 6$

Substituint:

$x_1 = 3 - \frac{6}{6} = 2$

L'arrel de veritat és $\sqrt{3/1} \approx 1.7321$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

La bisecció és el mètode més robust que hi ha: lent, però no falla mai si l'arrel està tancada.

1 — Comprovar que hi ha arrel. $f(3) = -1$ i $f(4) = 6$: tenen signes diferents, o sigui que per Bolzano hi ha una arrel al mig.

2 — Punt mig:

$c = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}, \qquad f(c) = \frac{9}{4}$

3 — Quina meitat ens quedem? La que manté els signes oposats als extrems: $[3, \frac{7}{2}]$.

4 — El punt mig d'aquest interval nou és la resposta:

$\frac{13}{4} = 3.2500$

Cada iteració divideix per dos l'error. És més lent que Newton, però no necessita derivades i no es despenja mai.