Exercicis de mètodes numèrics

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -5 \qquad f'(1) = 4$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-5}{4} = \frac{9}{4} \approx 2.2500$

L'arrel de veritat és $\sqrt{7/2} \approx 1.8708$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = 1 \qquad f'(2) = 8$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{1}{8} = \frac{15}{8} \approx 1.8750$

L'arrel de veritat és $\sqrt{7/2} \approx 1.8708$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(3) = 11 \qquad f'(3) = 12$

Substituint:

$x_1 = 3 - \frac{11}{12} = \frac{25}{12} \approx 2.0833$

L'arrel de veritat és $\sqrt{7/2} \approx 1.8708$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(4) = 25 \qquad f'(4) = 16$

Substituint:

$x_1 = 4 - \frac{25}{16} = \frac{39}{16} \approx 2.4375$

L'arrel de veritat és $\sqrt{7/2} \approx 1.8708$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -8 \qquad f'(1) = 4$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-8}{4} = 3$

L'arrel de veritat és $\sqrt{10/2} \approx 2.2361$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = -2 \qquad f'(2) = 8$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{-2}{8} = \frac{9}{4} \approx 2.2500$

L'arrel de veritat és $\sqrt{10/2} \approx 2.2361$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(3) = 8 \qquad f'(3) = 12$

Substituint:

$x_1 = 3 - \frac{8}{12} = \frac{7}{3} \approx 2.3333$

L'arrel de veritat és $\sqrt{10/2} \approx 2.2361$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(4) = 22 \qquad f'(4) = 16$

Substituint:

$x_1 = 4 - \frac{22}{16} = \frac{21}{8} \approx 2.6250$

L'arrel de veritat és $\sqrt{10/2} \approx 2.2361$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(1) = -4 \qquad f'(1) = 4$

Substituint:

$x_1 = 1 - \frac{-4}{4} = 2$

L'arrel de veritat és $\sqrt{6/2} \approx 1.7321$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.

El mètode de Newton s'acosta a l'arrel seguint la recta tangent: des del punt actual, baixa per la tangent fins a tallar l'eix, i allà hi ha la nova aproximació.

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Els dos valors que necessites:

$f(2) = 2 \qquad f'(2) = 8$

Substituint:

$x_1 = 2 - \frac{2}{8} = \frac{7}{4} \approx 1.7500$

L'arrel de veritat és $\sqrt{6/2} \approx 1.7321$. Amb una sola iteració ja t'hi has acostat força; amb dues o tres, la precisió és molt bona. Per això Newton s'utilitza tant.