Exercicis de càlcul vectorial

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(0, 1, 2)$:

$\operatorname{div}F((0, 1, 2)) = 0$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (12x,\,12y,\,12z)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 36$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(2, 2, 2)$:

$\operatorname{div}F((2, 2, 2)) = 12$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (12x^{2},\,12y^{2},\,12z^{2})$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 36$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(1, 0, 0)$:

$\operatorname{div}F((1, 0, 0)) = 3$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (12x,\,0,\,0)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 12$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(3, 1, 2)$:

$\operatorname{div}F((3, 1, 2)) = 27$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(1, 1, 2)$:

$\operatorname{div}F((1, 1, 2)) = 3$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = - \sin{\left(Y \right)} + \cos{\left(X \right)} + 1$

Avaluant al punt $(1, 1, 1)$:

$\operatorname{div}F((1, 1, 1)) \approx 0.6988$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = - \sin{\left(Y \right)} + \cos{\left(X \right)} + 1$

Avaluant al punt $(1, 2, 3)$:

$\operatorname{div}F((1, 2, 3)) \approx 0.6310$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.