Exercicis de càlcul vectorial

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = X + Y + Z$

Avaluant al punt $(3, 1, 2)$:

$\operatorname{div}F((3, 1, 2)) = 6$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (8x^{2},\,8y^{2},\,8z^{2})$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 24$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = X + Y + Z$

Avaluant al punt $(1, 1, 2)$:

$\operatorname{div}F((1, 1, 2)) = 4$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (8x,\,0,\,0)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 8$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(1, 1, 1)$:

$\operatorname{div}F((1, 1, 1)) = 3$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (10x,\,10y,\,10z)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 30$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(1, 2, 3)$:

$\operatorname{div}F((1, 2, 3)) = 3$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (10x^{2},\,10y^{2},\,10z^{2})$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 30$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 3 X^{2}$

Avaluant al punt $(2, 0, 1)$:

$\operatorname{div}F((2, 0, 1)) = 12$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (10x,\,0,\,0)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 10$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.