Exercicis de càlcul vectorial

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (2x,\,2y,\,2z)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 6$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

El teorema fonamental de les integrals de línia. Si el camp és el gradient d'un potencial,

$\int_C F\cdot dr = \phi(\text{final}) - \phi(\text{inicial})$

Substituint.

$\phi(1,2) - \phi(0,0) = 2$

El que t'estalvies. No cal parametritzar cap corba ni fer cap integral: el treball és independent del camí. Si l'enunciat et dona una corba complicada, comprovar que el camp és conservatiu val més que qualsevol parametrització.

Compte, però: la condició de rotacional nul només garanteix que hi ha potencial si el domini és simplement connex. Amb forats pot fallar, com passa amb el camp angular al pla menys l'origen.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 2 X + 2 Y + 2 Z$

Avaluant al punt $(2, 2, 2)$:

$\operatorname{div}F((2, 2, 2)) = 12$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (2x^{2},\,2y^{2},\,2z^{2})$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 6$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

El teorema fonamental de les integrals de línia. Si el camp és el gradient d'un potencial,

$\int_C F\cdot dr = \phi(\text{final}) - \phi(\text{inicial})$

Substituint.

$\phi(2,2) - \phi(1,0) = 8$

El que t'estalvies. No cal parametritzar cap corba ni fer cap integral: el treball és independent del camí. Si l'enunciat et dona una corba complicada, comprovar que el camp és conservatiu val més que qualsevol parametrització.

Compte, però: la condició de rotacional nul només garanteix que hi ha potencial si el domini és simplement connex. Amb forats pot fallar, com passa amb el camp angular al pla menys l'origen.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 2 X + 2 Y + 2 Z$

Avaluant al punt $(1, 0, 0)$:

$\operatorname{div}F((1, 0, 0)) = 2$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (2x,\,0,\,0)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 2$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.

El teorema fonamental de les integrals de línia. Si el camp és el gradient d'un potencial,

$\int_C F\cdot dr = \phi(\text{final}) - \phi(\text{inicial})$

Substituint.

$\phi(5,5) - \phi(1,1) = 8$

El que t'estalvies. No cal parametritzar cap corba ni fer cap integral: el treball és independent del camí. Si l'enunciat et dona una corba complicada, comprovar que el camp és conservatiu val més que qualsevol parametrització.

Compte, però: la condició de rotacional nul només garanteix que hi ha potencial si el domini és simplement connex. Amb forats pot fallar, com passa amb el camp angular al pla menys l'origen.

La definició.

$\operatorname{div}F = P_x + Q_y + R_z$

Derivant cada component respecte de la seva pròpia variable i sumant, s'obté

$\operatorname{div}F = 2 X + 2 Y + 2 Z$

Avaluant al punt $(3, 1, 2)$:

$\operatorname{div}F((3, 1, 2)) = 12$

Què vol dir aquest número. La divergència mesura la densitat local de flux sortint. On és positiva, el camp «surt» d'aquell punt (hi ha una font); on és negativa, hi entra (hi ha un pou). Si és zero a tot arreu, el camp és solenoïdal i el flux a través de qualsevol superfície tancada s'anul·la.

Pas 1 — comprovar la hipòtesi. La superfície del cub és tancada, de manera que el teorema de Gauss s'hi aplica directament. (Si li faltés una cara, caldria afegir-la i restar-ne el flux després.)

Pas 2 — la divergència. Sumant les tres derivades parcials del camp $F = (3x,\,3y,\,3z)$ i integrant sobre el cub (on cada variable té valor mitjà $1/2$), el flux total surt

$\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V \operatorname{div}F\,dV = 9$

Compara l'esforç. El càlcul directe demanaria parametritzar sis cares, vigilar sis orientacions i fer sis integrals dobles. Gauss ho redueix a una integral triple d'un polinomi sobre un cub. Quan la superfície és tancada, gairebé sempre val la pena.