Exercicis de sistemes lineals

Un sistema homogeni (tots els termes independents zero) sempre és compatible, perquè $x = y = z = 0$ el compleix sempre. Per tant la tercera opció es pot descartar sense calcular res.

L'única pregunta és si a més de la trivial n'hi ha d'altres, i això ho decideix el determinant:

$|A| = 11$

Com que no és zero, el rang és màxim i la solució és única: només la trivial.

Aquesta és una pregunta molt freqüent perquè es respon en deu segons si tens clar el concepte, i es fa eterna si et poses a resoldre el sistema.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -30 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = 0, \qquad y = 1, \qquad z = -3$

Et demanaven $z = -3$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Un sistema homogeni (tots els termes independents zero) sempre és compatible, perquè $x = y = z = 0$ el compleix sempre. Per tant la tercera opció es pot descartar sense calcular res.

L'única pregunta és si a més de la trivial n'hi ha d'altres, i això ho decideix el determinant:

$|A| = 4$

Com que no és zero, el rang és màxim i la solució és única: només la trivial.

Aquesta és una pregunta molt freqüent perquè es respon en deu segons si tens clar el concepte, i es fa eterna si et poses a resoldre el sistema.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -5 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = -3, \qquad y = 3, \qquad z = 2$

Et demanaven $x = -3$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Un sistema homogeni (tots els termes independents zero) sempre és compatible, perquè $x = y = z = 0$ el compleix sempre. Per tant la tercera opció es pot descartar sense calcular res.

L'única pregunta és si a més de la trivial n'hi ha d'altres, i això ho decideix el determinant:

$|A| = 34$

Com que no és zero, el rang és màxim i la solució és única: només la trivial.

Aquesta és una pregunta molt freqüent perquè es respon en deu segons si tens clar el concepte, i es fa eterna si et poses a resoldre el sistema.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = 4 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = 0, \qquad y = 0, \qquad z = 1$

Et demanaven $y = 0$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Un sistema homogeni (tots els termes independents zero) sempre és compatible, perquè $x = y = z = 0$ el compleix sempre. Per tant la tercera opció es pot descartar sense calcular res.

L'única pregunta és si a més de la trivial n'hi ha d'altres, i això ho decideix el determinant:

$|A| = 14$

Com que no és zero, el rang és màxim i la solució és única: només la trivial.

Aquesta és una pregunta molt freqüent perquè es respon en deu segons si tens clar el concepte, i es fa eterna si et poses a resoldre el sistema.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -4 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = 1, \qquad y = 3, \qquad z = -3$

Et demanaven $z = -3$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -12 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = -2, \qquad y = 1, \qquad z = 2$

Et demanaven $x = -2$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -3 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = 2, \qquad y = 0, \qquad z = 2$

Et demanaven $y = 0$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.