Exercicis de sistemes lineals

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = - \left(m + 3\right) \left(m^{2} - 3 m + 3\right)$

Pas 2 — substituir $m = 3$:

$|A| = -18$

Com que no és zero, el rang dels coeficients ja és màxim ($=3$), i el de l'ampliada no pot ser més gran. Per tant:

$\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = 3 = \text{nombre d'incògnites}$

Compatible determinat: una sola solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

Un sistema homogeni (tots els termes independents zero) sempre és compatible, perquè $x = y = z = 0$ el compleix sempre. Per tant la tercera opció es pot descartar sense calcular res.

L'única pregunta és si a més de la trivial n'hi ha d'altres, i això ho decideix el determinant:

$|A| = 0$

Com que és zero, el rang és $2 < 3$ i hi ha infinites solucions, amb $1$ grau de llibertat.

Aquesta és una pregunta molt freqüent perquè es respon en deu segons si tens clar el concepte, i es fa eterna si et poses a resoldre el sistema.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = 15 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = -3, \qquad y = 0, \qquad z = 1$

Et demanaven $y = 0$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = - \left(m + 3\right) \left(m^{2} - 3 m + 3\right)$

Pas 2 — substituir $m = 5$:

$|A| = -104$

Com que no és zero, el rang dels coeficients ja és màxim ($=3$), i el de l'ampliada no pot ser més gran. Per tant:

$\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = 3 = \text{nombre d'incògnites}$

Compatible determinat: una sola solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

Un sistema homogeni (tots els termes independents zero) sempre és compatible, perquè $x = y = z = 0$ el compleix sempre. Per tant la tercera opció es pot descartar sense calcular res.

L'única pregunta és si a més de la trivial n'hi ha d'altres, i això ho decideix el determinant:

$|A| = -3$

Com que no és zero, el rang és màxim i la solució és única: només la trivial.

Aquesta és una pregunta molt freqüent perquè es respon en deu segons si tens clar el concepte, i es fa eterna si et poses a resoldre el sistema.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = 18 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = -2, \qquad y = -1, \qquad z = 3$

Et demanaven $z = 3$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = - 3 \left(m - 2\right)$

Pas 2 — substituir $m = 2$:

$|A| = 0$

Com que és zero, el rang baixa i cal mirar l'ampliada. Calculant-los:

$\mathrm{rang}(A) = 2, \qquad \mathrm{rang}(A|b) = 3$

Són diferents, i això vol dir que alguna equació contradiu les altres:

Incompatible, no hi ha cap solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

Un sistema homogeni (tots els termes independents zero) sempre és compatible, perquè $x = y = z = 0$ el compleix sempre. Per tant la tercera opció es pot descartar sense calcular res.

L'única pregunta és si a més de la trivial n'hi ha d'altres, i això ho decideix el determinant:

$|A| = -10$

Com que no és zero, el rang és màxim i la solució és única: només la trivial.

Aquesta és una pregunta molt freqüent perquè es respon en deu segons si tens clar el concepte, i es fa eterna si et poses a resoldre el sistema.

Pas 1 — classificar el sistema. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = 11 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, rang$(A)$ = rang$(A|b)$ = 3 = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat, amb una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss (fent zeros per sota de la diagonal) o per Cramer (un determinant per incògnita), s'obté:

$x = 2, \qquad y = -2, \qquad z = -3$

Et demanaven $x = 2$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix a les tres equacions. És un minut de feina que t'estalvia perdre tot el problema per un error de signe.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = - 3 \left(m - 2\right)$

Pas 2 — substituir $m = 0$:

$|A| = 6$

Com que no és zero, el rang dels coeficients ja és màxim ($=3$), i el de l'ampliada no pot ser més gran. Per tant:

$\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = 3 = \text{nombre d'incògnites}$

Compatible determinat: una sola solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat