Exercicis de sistemes d'equacions

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (5)(-2) = 10$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} -20 & 5 \\ 14 & -2 \end{vmatrix}}{10} = \frac{-30}{10} = -3$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 0 & -20 \\ -2 & 14 \end{vmatrix}}{10} = \frac{-40}{10} = -4$

La solució és $x = -3$, $y = -4$. El que et demanaven és $y = -4$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ m & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (2)(m) = 4 - 2m$

Igualem a zero:

$4 - 2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 2$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.

Pas 1 — mirar el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -105 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat: té una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss o per Cramer, la solució és:

$x = -3, \qquad y = 1, \qquad z = 2$

El que et demanaven és $x = -3$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix la solució a les tres equacions. Si alguna no quadra, has comès un error de càlcul. En un examen aquesta comprovació val molt la pena: et costa un minut i t'evita perdre tot el problema.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = m \left(m^{2} - 2\right)$

Pas 2 — substituir $m = 0$:

$|A| = 0$

Com que és zero, el rang baixa i cal mirar l'ampliada. Calculant-los:

$\mathrm{rang}(A) = 2, \qquad \mathrm{rang}(A|b) = 2$

Són iguals però més petits que el nombre d'incògnites ($3$), o sigui que sobren graus de llibertat:

Compatible indeterminat, amb infinites solucions ($1$ paràmetre).

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (-3)(0) - (3)(-1) = 3$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} -6 & 3 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$y = \frac{\begin{vmatrix} -3 & -6 \\ -1 & -4 \end{vmatrix}}{3} = \frac{6}{3} = 2$

La solució és $x = 4$, $y = 2$. El que et demanaven és $x = 4$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ m & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (2)(m) = 4 - 2m$

Igualem a zero:

$4 - 2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 2$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.

Pas 1 — mirar el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = 30 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat: té una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss o per Cramer, la solució és:

$x = 1, \qquad y = 0, \qquad z = 2$

El que et demanaven és $y = 0$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix la solució a les tres equacions. Si alguna no quadra, has comès un error de càlcul. En un examen aquesta comprovació val molt la pena: et costa un minut i t'evita perdre tot el problema.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = m \left(m^{2} - 2\right)$

Pas 2 — substituir $m = - \sqrt{2}$:

$|A| = 0$

Com que és zero, el rang baixa i cal mirar l'ampliada. Calculant-los:

$\mathrm{rang}(A) = 2, \qquad \mathrm{rang}(A|b) = 3$

Són diferents, i això vol dir que alguna equació contradiu les altres:

Incompatible, no hi ha cap solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} 5 & 5 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (5)(0) - (5)(-2) = 10$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} 10 & 5 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 10 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}}{10} = \frac{0}{10} = 0$

La solució és $x = 2$, $y = 0$. El que et demanaven és $y = 0$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ m & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (2)(m) = 4 - 2m$

Igualem a zero:

$4 - 2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 2$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.