Exercicis de sistemes d'equacions

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (3)(0) - (3)(-1) = 3$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} -12 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}}{3} = \frac{-9}{3} = -3$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & -12 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

La solució és $x = -3$, $y = -1$. El que et demanaven és $x = -3$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ m & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (3)(m) = 3 - 3m$

Igualem a zero:

$3 - 3m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 1$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.

Pas 1 — mirar el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = 46 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat: té una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss o per Cramer, la solució és:

$x = -2, \qquad y = 3, \qquad z = 1$

El que et demanaven és $y = 3$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix la solució a les tres equacions. Si alguna no quadra, has comès un error de càlcul. En un examen aquesta comprovació val molt la pena: et costa un minut i t'evita perdre tot el problema.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = 0$

Pas 2 — substituir $m = 2$:

$|A| = 0$

Com que és zero, el rang baixa i cal mirar l'ampliada. Calculant-los:

$\mathrm{rang}(A) = 2, \qquad \mathrm{rang}(A|b) = 3$

Són diferents, i això vol dir que alguna equació contradiu les altres:

Incompatible, no hi ha cap solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) - (0)(4) = 3$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -11 & -3 \end{vmatrix}}{3} = \frac{-6}{3} = -2$

$y = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -11 \end{vmatrix}}{3} = \frac{3}{3} = 1$

La solució és $x = -2$, $y = 1$. El que et demanaven és $y = 1$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ m & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (1)(m) = 2 - m$

Igualem a zero:

$2 - m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 2$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.

Pas 1 — mirar el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = 18 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat: té una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss o per Cramer, la solució és:

$x = -1, \qquad y = 0, \qquad z = -1$

El que et demanaven és $z = -1$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix la solució a les tres equacions. Si alguna no quadra, has comès un error de càlcul. En un examen aquesta comprovació val molt la pena: et costa un minut i t'evita perdre tot el problema.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = 0$

Pas 2 — substituir $m = 3$:

$|A| = 0$

Com que és zero, el rang baixa i cal mirar l'ampliada. Calculant-los:

$\mathrm{rang}(A) = 2, \qquad \mathrm{rang}(A|b) = 3$

Són diferents, i això vol dir que alguna equació contradiu les altres:

Incompatible, no hi ha cap solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-2) - (4)(3) = -10$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} -11 & 4 \\ 13 & -2 \end{vmatrix}}{-10} = \frac{-30}{-10} = 3$

$y = \frac{\begin{vmatrix} -1 & -11 \\ 3 & 13 \end{vmatrix}}{-10} = \frac{20}{-10} = -2$

La solució és $x = 3$, $y = -2$. El que et demanaven és $x = 3$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ m & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (1)(m) = 2 - m$

Igualem a zero:

$2 - m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 2$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.