Exercicis de sistemes d'equacions

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} -1 & -4 \\ -2 & -4 \end{vmatrix} = (-1)(-4) - (-4)(-2) = -4$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -6 & -4 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$

$y = \frac{\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{0}{-4} = 0$

La solució és $x = 3$, $y = 0$. El que et demanaven és $y = 0$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ m & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(m) = 2 - 2m$

Igualem a zero:

$2 - 2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 1$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.

Pas 1 — mirar el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -44 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat: té una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss o per Cramer, la solució és:

$x = 0, \qquad y = 0, \qquad z = 0$

El que et demanaven és $x = 0$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix la solució a les tres equacions. Si alguna no quadra, has comès un error de càlcul. En un examen aquesta comprovació val molt la pena: et costa un minut i t'evita perdre tot el problema.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = \left(m - 1\right)^{2}$

Pas 2 — substituir $m = 4$:

$|A| = 9$

Com que no és zero, el rang dels coeficients ja és màxim ($=3$), i el de l'ampliada no pot ser més gran. Per tant:

$\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = 3 = \text{nombre d'incògnites}$

Compatible determinat: una sola solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (5)(3) - (5)(4) = -5$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} -40 & 5 \\ -28 & 3 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{20}{-5} = -4$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 5 & -40 \\ 4 & -28 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{20}{-5} = -4$

La solució és $x = -4$, $y = -4$. El que et demanaven és $x = -4$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ m & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(m) = 2 - 2m$

Igualem a zero:

$2 - 2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 1$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.

Pas 1 — mirar el determinant de la matriu de coeficients:

$|A| = -18 \neq 0$

Per Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat: té una única solució.

Pas 2 — resoldre. Per Gauss o per Cramer, la solució és:

$x = -3, \qquad y = 1, \qquad z = -1$

El que et demanaven és $y = 1$.

Pas 3 — comprovar. Substitueix la solució a les tres equacions. Si alguna no quadra, has comès un error de càlcul. En un examen aquesta comprovació val molt la pena: et costa un minut i t'evita perdre tot el problema.

Aquest és el tipus de pregunta que cau a mig examen de selectivitat, i es resol sempre amb Rouché-Frobenius: no cal resoldre el sistema, només comparar rangs.

Pas 1 — el determinant en funció de $m$:

$|A| = \left(m - 1\right)^{2}$

Pas 2 — substituir $m = 5$:

$|A| = 16$

Com que no és zero, el rang dels coeficients ja és màxim ($=3$), i el de l'ampliada no pot ser més gran. Per tant:

$\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = 3 = \text{nombre d'incògnites}$

Compatible determinat: una sola solució.

Recorda el criteri sencer:

• $\mathrm{rang}(A) \neq \mathrm{rang}(A|b)$ → incompatible
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) = n$ → determinat
• $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A|b) < n$ → indeterminat

El determinant dels coeficients val:

$\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (-3)(-4) = -8$

Com que no és zero, el sistema és compatible determinat: té una sola solució.

Per Cramer, cada incògnita surt de substituir la seva columna pels termes independents:

$x = \frac{\begin{vmatrix} -8 & -3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}}{-8} = \frac{16}{-8} = -2$

$y = \frac{\begin{vmatrix} -2 & -8 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}}{-8} = \frac{-32}{-8} = 4$

La solució és $x = -2$, $y = 4$. El que et demanaven és $y = 4$.

Comprova-ho sempre substituint a les dues equacions originals: hi ha de quadrar.

La clau de tots els problemes amb paràmetre és aquesta: mentre el determinant dels coeficients no sigui zero, el sistema té una solució única. El cas interessant és justament quan s'anul·la.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ m & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(m) = 2 - 2m$

Igualem a zero:

$2 - 2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 1$

Per a aquest valor de $m$ les dues files són proporcionals, i el sistema passa a ser incompatible o compatible indeterminat, segons què passi amb els termes independents. Per a qualsevol altre valor de $m$, hi ha solució única.