Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El quadrat d'un binomi té tres termes: el quadrat del primer, el doble producte i el quadrat del segon.
Pista 2.
El doble producte és 2⋅1⋅1, amb el signe del binomi.
Com es fa
(x−1)2=x2−2x+1. El coeficient de x és −2. El terme central és el que més s'oblida: el quadrat d'una suma no és la suma de quadrats.
Compte amb això.
Escriure només el quadrat de cada terme i oblidar el doble producte.
Exercici 2
Factoritza P(x)=x3+6x2+5x−12. Quina és la seva arrel més gran?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Prova els divisors del terme constant: les arrels enteres hi han de ser.
Pista 2.
Si P(r)=0, llavors x−r és un factor.
Com es fa
La factorització és (x−1)(x+3)(x+4), de manera que les arrels són −4, −3, 1 i la més gran és 1. Es comprova substituint: cada arrel ha d'anul·lar el polinomi.
Compte amb això.
Confondre les arrels amb els coeficients, o canviar-los el signe: el factor x−r correspon a l'arrel r, no a −r.
Exercici 3
Factoritza x2+2x−3 i dona la suma de les seves dues arrels.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Busca dos números que sumin el coeficient de x amb signe canviat i multipliquin el terme constant.
Pista 2.
La suma de les arrels és el coeficient de x amb el signe canviat.
Com es fa
x2+2x−3=(x−1)(x+3), amb arrels −3 i 1, que sumen −2. De fet la suma es pot llegir directament del polinomi: és el coeficient de x amb el signe canviat, i el producte és el terme constant.
Compte amb això.
Donar la suma dels coeficients en comptes de la de les arrels, o oblidar el canvi de signe.
Exercici 4
Quina és la primera tècnica que convé provar per factoritzar 9x2−16?
Pista 1.
El factor comú es prova sempre primer: és el pas més barat.
Pista 2.
Dos termes que són quadrats amb una resta entremig són una diferència de quadrats; tres termes amb el del mig igual al doble producte són un quadrat perfecte.
Com es fa
A 9x2−16, la tècnica que toca és: diferència de quadrats. L'ordre recomanat és sempre el mateix: factor comú, després identitats notables i finalment la cerca de dos números o la fórmula de segon grau.
Compte amb això.
Anar directament a la fórmula de segon grau sense mirar si hi ha factor comú o una identitat notable, cosa que allarga molt el càlcul.
Exercici 5
Desenvolupa (7x+7)2. Quin és el coeficient de x?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El quadrat d'un binomi té tres termes: el quadrat del primer, el doble producte i el quadrat del segon.
Pista 2.
El doble producte és 2⋅7⋅7, amb el signe del binomi.
Com es fa
(7x+7)2=49x2+98x+49. El coeficient de x és 98. El terme central és el que més s'oblida: el quadrat d'una suma no és la suma de quadrats.
Compte amb això.
Escriure només el quadrat de cada terme i oblidar el doble producte.
Exercici 6
Factoritza P(x)=x3+3x2−13x−15. Quina és la seva arrel més gran?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Prova els divisors del terme constant: les arrels enteres hi han de ser.
Pista 2.
Si P(r)=0, llavors x−r és un factor.
Com es fa
La factorització és (x−3)(x+1)(x+5), de manera que les arrels són −5, −1, 3 i la més gran és 3. Es comprova substituint: cada arrel ha d'anul·lar el polinomi.
Compte amb això.
Confondre les arrels amb els coeficients, o canviar-los el signe: el factor x−r correspon a l'arrel r, no a −r.
Exercici 7
Factoritza x2−9 i dona la suma de les seves dues arrels.
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Busca dos números que sumin el coeficient de x amb signe canviat i multipliquin el terme constant.
Pista 2.
La suma de les arrels és el coeficient de x amb el signe canviat.
Com es fa
x2−9=(x−3)(x+3), amb arrels −3 i 3, que sumen 0. De fet la suma es pot llegir directament del polinomi: és el coeficient de x amb el signe canviat, i el producte és el terme constant.
Compte amb això.
Donar la suma dels coeficients en comptes de la de les arrels, o oblidar el canvi de signe.
Exercici 8
Quina és la primera tècnica que convé provar per factoritzar 4x2+12x+9?
Pista 1.
El factor comú es prova sempre primer: és el pas més barat.
Pista 2.
Dos termes que són quadrats amb una resta entremig són una diferència de quadrats; tres termes amb el del mig igual al doble producte són un quadrat perfecte.
Com es fa
A 4x2+12x+9, la tècnica que toca és: quadrat perfecte. L'ordre recomanat és sempre el mateix: factor comú, després identitats notables i finalment la cerca de dos números o la fórmula de segon grau.
Compte amb això.
Anar directament a la fórmula de segon grau sense mirar si hi ha factor comú o una identitat notable, cosa que allarga molt el càlcul.
Exercici 9
Desenvolupa (3x−9)2. Quin és el coeficient de x?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
El quadrat d'un binomi té tres termes: el quadrat del primer, el doble producte i el quadrat del segon.
Pista 2.
El doble producte és 2⋅3⋅9, amb el signe del binomi.
Com es fa
(3x−9)2=9x2−54x+81. El coeficient de x és −54. El terme central és el que més s'oblida: el quadrat d'una suma no és la suma de quadrats.
Compte amb això.
Escriure només el quadrat de cada terme i oblidar el doble producte.
Exercici 10
Factoritza P(x)=x3−13x+12. Quina és la seva arrel més gran?
Escriu només el número.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Prova els divisors del terme constant: les arrels enteres hi han de ser.
Pista 2.
Si P(r)=0, llavors x−r és un factor.
Com es fa
La factorització és (x−3)(x−1)(x+4), de manera que les arrels són −4, 1, 3 i la més gran és 3. Es comprova substituint: cada arrel ha d'anul·lar el polinomi.
Compte amb això.
Confondre les arrels amb els coeficients, o canviar-los el signe: el factor x−r correspon a l'arrel r, no a −r.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.