Exercicis d'algorismes d'optimització

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(5 + \frac{2}{5}\right) = \frac{1}{2}\left(5 + 0.400000\right) = 2.700000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-2$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{2} \approx 1.414214$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(4 + \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(4 + 0.750000\right) = 2.375000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-3$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{3} \approx 1.732051$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(5 + \frac{3}{5}\right) = \frac{1}{2}\left(5 + 0.600000\right) = 2.800000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-3$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{3} \approx 1.732051$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(4 + \frac{5}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(4 + 1.250000\right) = 2.625000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-5$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{5} \approx 2.236068$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(5 + \frac{5}{5}\right) = \frac{1}{2}\left(5 + 1.000000\right) = 3.000000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-5$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{5} \approx 2.236068$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{7}{1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + 7.000000\right) = 4.000000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-7$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{7} \approx 2.645751$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(4 + \frac{7}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(4 + 1.750000\right) = 2.875000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-7$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{7} \approx 2.645751$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(5 + \frac{7}{5}\right) = \frac{1}{2}\left(5 + 1.400000\right) = 3.200000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-7$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{7} \approx 2.645751$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{10}{1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + 10.000000\right) = 5.500000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-10$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{10} \approx 3.162278$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{10}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(2 + 5.000000\right) = 3.500000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-10$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{10} \approx 3.162278$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.