Exercicis d'algorismes d'optimització

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{45}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(2 + 22.500000\right) = 12.250000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-45$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{45} \approx 6.708204$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(3 + \frac{45}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(3 + 15.000000\right) = 9.000000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-45$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{45} \approx 6.708204$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(4 + \frac{45}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(4 + 11.250000\right) = 7.625000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-45$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{45} \approx 6.708204$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(5 + \frac{45}{5}\right) = \frac{1}{2}\left(5 + 9.000000\right) = 7.000000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-45$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{45} \approx 6.708204$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{55}{1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + 55.000000\right) = 28.000000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-55$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{55} \approx 7.416198$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{55}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(2 + 27.500000\right) = 14.750000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-55$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{55} \approx 7.416198$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(3 + \frac{55}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(3 + 18.333333\right) = 10.666667$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-55$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{55} \approx 7.416198$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(4 + \frac{55}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(4 + 13.750000\right) = 8.875000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-55$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{55} \approx 7.416198$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(5 + \frac{55}{5}\right) = \frac{1}{2}\left(5 + 11.000000\right) = 8.000000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-55$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{55} \approx 7.416198$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{70}{1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + 70.000000\right) = 35.500000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-70$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{70} \approx 8.366600$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.