Exercicis d'algorismes d'optimització

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{70}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(2 + 35.000000\right) = 18.500000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-70$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{70} \approx 8.366600$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(3 + \frac{70}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(3 + 23.333333\right) = 13.166667$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-70$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{70} \approx 8.366600$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(4 + \frac{70}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(4 + 17.500000\right) = 10.750000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-70$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{70} \approx 8.366600$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.

El càlcul.

$x_1 = \frac{1}{2}\left(5 + \frac{70}{5}\right) = \frac{1}{2}\left(5 + 14.000000\right) = 9.500000$

D'on surt la iteració. El pas de Newton és $x - f(x)/f'(x)$; amb $f(x) = x^{2}-70$ i $f'(x) = 2x$, se simplifica a la mitjana d'aquests dos números.

Quantes xifres guanyes. El valor exacte és $\sqrt{70} \approx 8.366600$, i aquesta primera iterada ja hi és a prop. La convergència és quadràtica: el nombre de xifres correctes es duplica a cada pas, de manera que en tres o quatre iteracions tens tota la precisió de la màquina.

Aquest és el mètode que han fet servir les calculadores durant dècades per a l'arrel quadrada, i té més de dos mil anys.