Exercicis de rectes, plans i distàncies

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 6| = 7$

i el denominador és $\lVert n\rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142$.

$d = 4.9497$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 3| = 6$

i el denominador és $\lVert n\rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142$.

$d = 4.2426$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 3 - 4| = 2$

i el denominador és $\lVert n\rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142$.

$d = 1.4142$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 3 + 6| = 12$

i el denominador és $\lVert n\rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142$.

$d = 8.4853$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3| = 9$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 3$.

$d = 3$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 4| = 5$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 3$.

$d = 1.6667$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 6| = 15$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 3$.

$d = 5$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0| = 0$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 3$.

$d = 0$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Aquí la distància és zero: el punt pertany al pla.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4| = 4$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 3$.

$d = 1.3333$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 6| = 6$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 3$.

$d = 2$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.