Exercicis de rectes, plans i distàncies

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 - 4| = 5$

i el denominador és $\lVert n\rVert = \sqrt{3} \approx 1.7321$.

$d = 2.8868$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 6| = 15$

i el denominador és $\lVert n\rVert = \sqrt{3} \approx 1.7321$.

$d = 8.6603$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3| = 1$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 1$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 - 4| = 3$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 3$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 6| = 7$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 7$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0| = 0$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 0$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Aquí la distància és zero: el punt pertany al pla.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 4| = 4$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 4$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 6| = 6$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 6$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1| = 2$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 2$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.

La fórmula. És la projecció del desplaçament sobre la direcció normal:

$d = \frac{|n\cdot p + d|}{\lVert n\rVert}$

Substituint. El numerador val

$|1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 - 4| = 2$

i el denominador és $\lVert n\rVert = 1$.

$d = 2$

El peu de la perpendicular, si el necessites, s'obté restant al punt el vector normal multiplicat per aquest mateix quocient (sense valor absolut) dividit per la norma: així aterres exactament sobre el pla.

Comprovació: el signe del numerador abans del valor absolut et diu a quin costat del pla és el punt.