Exercicis de principis de demostració

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 24 = \frac{24\cdot25}{2} = 300$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

El valor.

$2^{24} = 16777216$

La desigualtat. Es compleix que $16777216 > 24$, com afirma l'enunciat.

L'esquema de la prova. Cas base $n=1$: $2 > 1$. Pas inductiu: si $2^{n} > n$, aleshores

$2^{n+1} = 2\cdot 2^{n} > 2n \geq n+1,$

on l'última desigualtat val perquè $n\geq 1$. Observa que el pas fa servir dues coses: la hipòtesi d'inducció i una propietat elemental dels enters positius.

El creixement. La diferència entre les dues quantitats es dispara: a $n=10$ ja és de $1014$. Aquesta és la raó per la qual un algorisme exponencial és inviable i un de lineal no.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 25 = \frac{25\cdot26}{2} = 325$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

El valor.

$2^{25} = 33554432$

La desigualtat. Es compleix que $33554432 > 25$, com afirma l'enunciat.

L'esquema de la prova. Cas base $n=1$: $2 > 1$. Pas inductiu: si $2^{n} > n$, aleshores

$2^{n+1} = 2\cdot 2^{n} > 2n \geq n+1,$

on l'última desigualtat val perquè $n\geq 1$. Observa que el pas fa servir dues coses: la hipòtesi d'inducció i una propietat elemental dels enters positius.

El creixement. La diferència entre les dues quantitats es dispara: a $n=10$ ja és de $1014$. Aquesta és la raó per la qual un algorisme exponencial és inviable i un de lineal no.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 26 = \frac{26\cdot27}{2} = 351$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

El valor.

$2^{26} = 67108864$

La desigualtat. Es compleix que $67108864 > 26$, com afirma l'enunciat.

L'esquema de la prova. Cas base $n=1$: $2 > 1$. Pas inductiu: si $2^{n} > n$, aleshores

$2^{n+1} = 2\cdot 2^{n} > 2n \geq n+1,$

on l'última desigualtat val perquè $n\geq 1$. Observa que el pas fa servir dues coses: la hipòtesi d'inducció i una propietat elemental dels enters positius.

El creixement. La diferència entre les dues quantitats es dispara: a $n=10$ ja és de $1014$. Aquesta és la raó per la qual un algorisme exponencial és inviable i un de lineal no.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 27 = \frac{27\cdot28}{2} = 378$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

El valor.

$2^{27} = 134217728$

La desigualtat. Es compleix que $134217728 > 27$, com afirma l'enunciat.

L'esquema de la prova. Cas base $n=1$: $2 > 1$. Pas inductiu: si $2^{n} > n$, aleshores

$2^{n+1} = 2\cdot 2^{n} > 2n \geq n+1,$

on l'última desigualtat val perquè $n\geq 1$. Observa que el pas fa servir dues coses: la hipòtesi d'inducció i una propietat elemental dels enters positius.

El creixement. La diferència entre les dues quantitats es dispara: a $n=10$ ja és de $1014$. Aquesta és la raó per la qual un algorisme exponencial és inviable i un de lineal no.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 28 = \frac{28\cdot29}{2} = 406$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

El valor.

$2^{28} = 268435456$

La desigualtat. Es compleix que $268435456 > 28$, com afirma l'enunciat.

L'esquema de la prova. Cas base $n=1$: $2 > 1$. Pas inductiu: si $2^{n} > n$, aleshores

$2^{n+1} = 2\cdot 2^{n} > 2n \geq n+1,$

on l'última desigualtat val perquè $n\geq 1$. Observa que el pas fa servir dues coses: la hipòtesi d'inducció i una propietat elemental dels enters positius.

El creixement. La diferència entre les dues quantitats es dispara: a $n=10$ ja és de $1014$. Aquesta és la raó per la qual un algorisme exponencial és inviable i un de lineal no.