Exercicis de principis de demostració

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 47 = \frac{47\cdot48}{2} = 1128$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 48 = \frac{48\cdot49}{2} = 1176$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 49 = \frac{49\cdot50}{2} = 1225$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 50 = \frac{50\cdot51}{2} = 1275$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 51 = \frac{51\cdot52}{2} = 1326$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 52 = \frac{52\cdot53}{2} = 1378$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 53 = \frac{53\cdot54}{2} = 1431$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 54 = \frac{54\cdot55}{2} = 1485$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.

La fórmula.

$1 + 2 + \cdots + 55 = \frac{55\cdot56}{2} = 1540$

Per què és certa (esquema de la inducció). El cas base $n=1$ dona $1\cdot 2/2 = 1$, correcte. I si val per a un $n$ concret, sumant $n+1$ al total surt

$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2},$

que és exactament la fórmula amb $n+1$. Com que el cas base val i el pas es pot repetir, val per a tot $n$.

On s'ha fet servir la hipòtesi: a la primera igualtat, i només allà. Si en una prova per inducció no saps assenyalar el punt exacte on l'has aplicada, probablement no és inductiva.