Exercicis d'espais vectorials i bases

Que et donin $2$ vectors no vol dir que la dimensió sigui $2$: alguns poden ser combinació dels altres i no aportar res de nou.

La dimensió és el rang de la matriu que els té per files:

$\begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

Fent Gauss, queden $2$ files no nul·les, o sigui:

$\dim = 2$

Els 2 vectors són linealment independents i formen una base del subespai.

Interpretació geomètrica: dimensió 1 és una recta per l'origen, dimensió 2 un pla per l'origen, i dimensió 3 tot l'espai.

El teorema de les dimensions (o del rang) relaciona les tres quantitats:

$\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = n$

on $n = 3$ és la dimensió de l'espai de sortida.

La dimensió de la imatge és el rang de la matriu:

$\operatorname{rang}(M) = 2$

Per tant:

$\dim(\ker f) = 3 - 2 = 1$

El nucli té dimensió $1$: hi ha vectors no nuls que van a parar al zero, o sigui que l'aplicació no és injectiva.

Aquest teorema estalvia moltíssima feina: no cal resoldre el sistema $Mx = 0$ per saber quina dimensió té el nucli, n'hi ha prou amb el rang.

Que et donin $3$ vectors no vol dir que la dimensió sigui $3$: alguns poden ser combinació dels altres i no aportar res de nou.

La dimensió és el rang de la matriu que els té per files:

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Fent Gauss, queden $2$ files no nul·les, o sigui:

$\dim = 2$

Hi ha dependència: dels $3$ vectors, només $2$ són independents. Una base del subespai en té $2$.

Interpretació geomètrica: dimensió 1 és una recta per l'origen, dimensió 2 un pla per l'origen, i dimensió 3 tot l'espai.

El teorema de les dimensions (o del rang) relaciona les tres quantitats:

$\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = n$

on $n = 3$ és la dimensió de l'espai de sortida.

La dimensió de la imatge és el rang de la matriu:

$\operatorname{rang}(M) = 3$

Per tant:

$\dim(\ker f) = 3 - 3 = 0$

El nucli és només el vector zero: l'aplicació és injectiva.

Aquest teorema estalvia moltíssima feina: no cal resoldre el sistema $Mx = 0$ per saber quina dimensió té el nucli, n'hi ha prou amb el rang.

Que et donin $2$ vectors no vol dir que la dimensió sigui $2$: alguns poden ser combinació dels altres i no aportar res de nou.

La dimensió és el rang de la matriu que els té per files:

$\begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

Fent Gauss, queden $2$ files no nul·les, o sigui:

$\dim = 2$

Els 2 vectors són linealment independents i formen una base del subespai.

Interpretació geomètrica: dimensió 1 és una recta per l'origen, dimensió 2 un pla per l'origen, i dimensió 3 tot l'espai.

El teorema de les dimensions (o del rang) relaciona les tres quantitats:

$\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = n$

on $n = 3$ és la dimensió de l'espai de sortida.

La dimensió de la imatge és el rang de la matriu:

$\operatorname{rang}(M) = 3$

Per tant:

$\dim(\ker f) = 3 - 3 = 0$

El nucli és només el vector zero: l'aplicació és injectiva.

Aquest teorema estalvia moltíssima feina: no cal resoldre el sistema $Mx = 0$ per saber quina dimensió té el nucli, n'hi ha prou amb el rang.

Que et donin $2$ vectors no vol dir que la dimensió sigui $2$: alguns poden ser combinació dels altres i no aportar res de nou.

La dimensió és el rang de la matriu que els té per files:

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Fent Gauss, queden $2$ files no nul·les, o sigui:

$\dim = 2$

Els 2 vectors són linealment independents i formen una base del subespai.

Interpretació geomètrica: dimensió 1 és una recta per l'origen, dimensió 2 un pla per l'origen, i dimensió 3 tot l'espai.

El teorema de les dimensions (o del rang) relaciona les tres quantitats:

$\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = n$

on $n = 3$ és la dimensió de l'espai de sortida.

La dimensió de la imatge és el rang de la matriu:

$\operatorname{rang}(M) = 2$

Per tant:

$\dim(\ker f) = 3 - 2 = 1$

El nucli té dimensió $1$: hi ha vectors no nuls que van a parar al zero, o sigui que l'aplicació no és injectiva.

Aquest teorema estalvia moltíssima feina: no cal resoldre el sistema $Mx = 0$ per saber quina dimensió té el nucli, n'hi ha prou amb el rang.

Que et donin $3$ vectors no vol dir que la dimensió sigui $3$: alguns poden ser combinació dels altres i no aportar res de nou.

La dimensió és el rang de la matriu que els té per files:

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

Fent Gauss, queden $3$ files no nul·les, o sigui:

$\dim = 3$

Els 3 vectors són linealment independents i formen una base del subespai.

Interpretació geomètrica: dimensió 1 és una recta per l'origen, dimensió 2 un pla per l'origen, i dimensió 3 tot l'espai.

El teorema de les dimensions (o del rang) relaciona les tres quantitats:

$\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = n$

on $n = 3$ és la dimensió de l'espai de sortida.

La dimensió de la imatge és el rang de la matriu:

$\operatorname{rang}(M) = 3$

Per tant:

$\dim(\ker f) = 3 - 3 = 0$

El nucli és només el vector zero: l'aplicació és injectiva.

Aquest teorema estalvia moltíssima feina: no cal resoldre el sistema $Mx = 0$ per saber quina dimensió té el nucli, n'hi ha prou amb el rang.