Exercicis d'àlgebra lineal numèrica

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 1$ surt $L_{21} \approx 0.3333$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 20$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{20 - L_{21}^{2}} \approx 4.4597$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 1$ surt $L_{21} \approx 0.3333$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 26$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{26 - L_{21}^{2}} \approx 5.0881$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} \approx 0.6667$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 5$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{5 - L_{21}^{2}} \approx 2.1344$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} \approx 0.6667$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 10$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{10 - L_{21}^{2}} \approx 3.0912$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} \approx 0.6667$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 13$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{13 - L_{21}^{2}} \approx 3.5434$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} \approx 0.6667$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 20$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{20 - L_{21}^{2}} \approx 4.4222$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} \approx 0.6667$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 26$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{26 - L_{21}^{2}} \approx 5.0553$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 3$ surt $L_{21} = 1$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 5$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{5 - L_{21}^{2}} = 2$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 3$ surt $L_{21} = 1$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 10$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{10 - L_{21}^{2}} = 3$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 3$ surt $L_{21} = 1$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 13$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{13 - L_{21}^{2}} \approx 3.4641$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.