Exercicis d'àlgebra lineal numèrica

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 4$ surt $L_{11} = \sqrt{4} = 2$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} = 1$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 13$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{13 - L_{21}^{2}} \approx 3.4641$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Els valors singulars. Per a una matriu diagonal amb entrades positives, els valors singulars són exactament aquestes entrades: $300$ i $3$.

El número de condició.

$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{300}{3} = 100$

Com es llegeix. Aquest número diu quant es poden amplificar els errors relatius de les dades en passar a la solució. Amb $100$ es poden perdre unes 2 xifres significatives.

El que no es pot fer. Cap algorisme no millora aquest número: és una propietat del problema. Si és gran, la informació senzillament no hi és, i el que cal és replantejar el model o regularitzar.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 4$ surt $L_{11} = \sqrt{4} = 2$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} = 1$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 20$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{20 - L_{21}^{2}} \approx 4.3589$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Els valors singulars. Per a una matriu diagonal amb entrades positives, els valors singulars són exactament aquestes entrades: $1000$ i $2$.

El número de condició.

$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{1000}{2} = 500$

Com es llegeix. Aquest número diu quant es poden amplificar els errors relatius de les dades en passar a la solució. Amb $500$ es poden perdre unes 2 xifres significatives.

El que no es pot fer. Cap algorisme no millora aquest número: és una propietat del problema. Si és gran, la informació senzillament no hi és, i el que cal és replantejar el model o regularitzar.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 4$ surt $L_{11} = \sqrt{4} = 2$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} = 1$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 26$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{26 - L_{21}^{2}} = 5$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Els valors singulars. Per a una matriu diagonal amb entrades positives, els valors singulars són exactament aquestes entrades: $16$ i $2$.

El número de condició.

$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{16}{2} = 8$

Com es llegeix. Aquest número diu quant es poden amplificar els errors relatius de les dades en passar a la solució. Amb $8$ el problema està ben condicionat i amb prou feines es perden xifres.

El que no es pot fer. Cap algorisme no millora aquest número: és una propietat del problema. Si és gran, la informació senzillament no hi és, i el que cal és replantejar el model o regularitzar.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 4$ surt $L_{11} = \sqrt{4} = 2$, i de $L_{21}L_{11} = 3$ surt $L_{21} \approx 1.5000$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 5$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{5 - L_{21}^{2}} \approx 1.6583$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Els valors singulars. Per a una matriu diagonal amb entrades positives, els valors singulars són exactament aquestes entrades: $20$ i $5$.

El número de condició.

$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{20}{5} = 4$

Com es llegeix. Aquest número diu quant es poden amplificar els errors relatius de les dades en passar a la solució. Amb $4$ el problema està ben condicionat i amb prou feines es perden xifres.

El que no es pot fer. Cap algorisme no millora aquest número: és una propietat del problema. Si és gran, la informació senzillament no hi és, i el que cal és replantejar el model o regularitzar.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 4$ surt $L_{11} = \sqrt{4} = 2$, i de $L_{21}L_{11} = 3$ surt $L_{21} \approx 1.5000$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 10$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{10 - L_{21}^{2}} \approx 2.7839$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 4$ surt $L_{11} = \sqrt{4} = 2$, i de $L_{21}L_{11} = 3$ surt $L_{21} \approx 1.5000$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 13$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{13 - L_{21}^{2}} \approx 3.2787$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.