Simulacre d'examen d'àlgebra lineal numèrica

Els valors singulars. Per a una matriu diagonal amb entrades positives, els valors singulars són exactament aquestes entrades: $5$ i $2$.

El número de condició.

$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{5}{2} = 2.5$

Com es llegeix. Aquest número diu quant es poden amplificar els errors relatius de les dades en passar a la solució. Amb $2.5$ el problema està ben condicionat i amb prou feines es perden xifres.

El que no es pot fer. Cap algorisme no millora aquest número: és una propietat del problema. Si és gran, la informació senzillament no hi és, i el que cal és replantejar el model o regularitzar.

El cost de cada fase. Factoritzar costa de l'ordre de $n^{3}$ operacions. que per a $30$ són uns $27.000. Però un cop feta, resoldre amb un terme independent nou només costa dues substitucions triangulars, de l'ordre de

$n^{2} = 900$

La conseqüència pràctica. Si has de resoldre molts sistemes amb la mateixa matriu i termes independents diferents, factoritza un sol cop i reutilitza. La diferència és d'un factor $30$ per sistema.

I el que no s'ha de fer mai: calcular la matriu inversa i multiplicar. És unes tres vegades més car que factoritzar, és numèricament pitjor i no aporta res que la factorització no doni.

El cost de cada fase. Factoritzar costa de l'ordre de $n^{3}$ operacions. que per a $200$ són uns $8.000.000. Però un cop feta, resoldre amb un terme independent nou només costa dues substitucions triangulars, de l'ordre de

$n^{2} = 40000$

La conseqüència pràctica. Si has de resoldre molts sistemes amb la mateixa matriu i termes independents diferents, factoritza un sol cop i reutilitza. La diferència és d'un factor $200$ per sistema.

I el que no s'ha de fer mai: calcular la matriu inversa i multiplicar. És unes tres vegades més car que factoritzar, és numèricament pitjor i no aporta res que la factorització no doni.

Els valors singulars. Per a una matriu diagonal amb entrades positives, els valors singulars són exactament aquestes entrades: $15$ i $3$.

El número de condició.

$\kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{15}{3} = 5$

Com es llegeix. Aquest número diu quant es poden amplificar els errors relatius de les dades en passar a la solució. Amb $5$ el problema està ben condicionat i amb prou feines es perden xifres.

El que no es pot fer. Cap algorisme no millora aquest número: és una propietat del problema. Si és gran, la informació senzillament no hi és, i el que cal és replantejar el model o regularitzar.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 9$ surt $L_{11} = \sqrt{9} = 3$, i de $L_{21}L_{11} = 0$ surt $L_{21} = 0$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 26$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{26 - L_{21}^{2}} \approx 5.0990$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 16$ surt $L_{11} = \sqrt{16} = 4$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} \approx 0.5000$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 20$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{20 - L_{21}^{2}} \approx 4.4441$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 2$ surt $L_{11} = \sqrt{2} \approx 1.4142$, i de $L_{21}L_{11} = 0$ surt $L_{21} = 0$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 13$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{13 - L_{21}^{2}} \approx 3.6056$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.

Pas 1 — la primera columna. De $L_{11}^{2} = 5$ surt $L_{11} = \sqrt{5} \approx 2.2361$, i de $L_{21}L_{11} = 2$ surt $L_{21} \approx 0.8944$.

Pas 2 — l'entrada diagonal. La condició sobre l'element $(2,2)$ és $L_{21}^{2} + L_{22}^{2} = 10$, o sigui

$L_{22} = \sqrt{10 - L_{21}^{2}} \approx 3.0332$

El test de definició positiva. Si la matriu no fos definida positiva, en aquest punt hauries d'arrelar un número negatiu i l'algorisme fallaria. Aquesta és, de fet, la manera estàndard de comprovar si una matriu simètrica és definida positiva: no es calculen els autovalors, s'intenta Cholesky i es mira si acaba.

El cost. Cholesky fa aproximadament la meitat del treball de LU i no necessita pivotatge, perquè l'estructura ja garanteix l'estabilitat.