Exercicis de teoria de Galois

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $50$ són [1, 2, 5, 10, 25, 50].

$\#\text{cossos intermedis} = 6$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $50$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $4$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $50$ diferent d'$1$ i de $50$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $51$ són [1, 3, 17, 51].

$\#\text{cossos intermedis} = 4$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $51$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $2$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $51$ diferent d'$1$ i de $51$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $52$ són [1, 2, 4, 13, 26, 52].

$\#\text{cossos intermedis} = 6$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $52$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $4$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $52$ diferent d'$1$ i de $52$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $53$ són [1, 53].

$\#\text{cossos intermedis} = 2$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $53$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Com que $53$ és primer, només hi ha aquests dos: no hi ha cap cos intermedi propi. L'extensió és, en aquest sentit, indivisible.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $54$ són [1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54].

$\#\text{cossos intermedis} = 8$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $54$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $6$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $54$ diferent d'$1$ i de $54$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $55$ són [1, 5, 11, 55].

$\#\text{cossos intermedis} = 4$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $55$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $2$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $55$ diferent d'$1$ i de $55$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $56$ són [1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56].

$\#\text{cossos intermedis} = 8$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $56$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $6$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $56$ diferent d'$1$ i de $56$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $57$ són [1, 3, 19, 57].

$\#\text{cossos intermedis} = 4$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $57$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $2$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $57$ diferent d'$1$ i de $57$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $58$ són [1, 2, 29, 58].

$\#\text{cossos intermedis} = 4$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $58$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Per tant hi ha $2$ cossos intermedis propis, un per cada divisor de $58$ diferent d'$1$ i de $58$.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.

La correspondència de Galois és una bijecció entre cossos intermedis i subgrups. Per tant comptar cossos és comptar subgrups.

Subgrups d'un cíclic. Un grup cíclic d'ordre $n$ té exactament un subgrup per cada divisor de $n$, ni un més ni un menys. Els divisors de $59$ són [1, 59].

$\#\text{cossos intermedis} = 2$

Els dos extrems hi són inclosos: el divisor $1$ correspon al subgrup trivial, que fixa tota l'extensió; i el divisor $59$ correspon al grup sencer, que fixa només el cos base.

Com que $59$ és primer, només hi ha aquests dos: no hi ha cap cos intermedi propi. L'extensió és, en aquest sentit, indivisible.

I la correspondència inverteix inclusions: subgrup més gran vol dir cos fix més petit. A més, en un grup cíclic tots els subgrups són normals, de manera que totes les extensions intermèdies són de Galois sobre el cos base.